Ecricome 2005 mathematiques classe prepa hec (s)

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Ecricome 2005, option S. (avec programme pascal modifi´e)EXERCICE 13L’espaceR est muni de son produit scalaire usuel. Trois r´eels a, b, c ´etant donn´es, on pose : a c b M(a,b,c) = c a+b cb c a1) D´eterminer trois matrices I, J, K dont les coefficients ne d´ependent pas de a, b, c, tellesque :M(a,b,c) =aI +bJ +cK2 2 3 2Calculer J , K et K . D´eterminer une relation entre I, J et K , ainsi qu’un polynˆomeannulateur de K.Quelles sont les valeurs propres possibles de K ?t2) Justifier qu’il existe une matrice P ∈ M (R) inversible, telle que D = ( P)KP soit une3matrice diagonale.D´eterminer P et D v´erifiant les conditions pr´ec´edentes et telles que d < d < d (ou`1,1 2,2 3,3d est le coefficient d’indices i,j de D.)i,j2 t3) En ´ecrivant M =M(a,b,c) en fonction de I, K, K , d´eterminer la matrice ( P)MP.En d´eduire les valeurs propres de la matrice M.Discutersuivantlesvaleursdea,b,clenombredevaleurspropresdistinctesdeM etpr´eciserdans chaque cas les sous-espaces propres associ´es.√ √4) On suppose dans cette question a = 4, b = 2, c = 2 et on note M =M(4,2, 2).   0x x0 0 t   On pose X = y = ( P)X, ou` X = y0z z3a) On d´efinit la fonction f surR \{(0,0,0)} par :t( X)MXf(x,y,z) =2||X||2 0 2i. Montrer que||X|| =||X || puis que :02 02 024x +2y +8zf(x,y,z) =02 02 02x +y +z3ii. Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum de f surR \(0,0,0)et d´eterminer les points en lesquels ils sont atteints.2b)On cherche d´esormais `a ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Ecricome 2005, option S.meamscpamoal´di)ea(evpcorrg
EXERCICE 1 3 L’espaceRestdesomuniudtipnoriaercslaTrl.ueusel´esroisa,b,ces:e´,snoope´nnodtnat   a c b   M(a, b, c) =c a+b c b c a 1)mretrenie´DcerisoitratsmI,J,Kceicseotnelodentppended´entsnedsaa,b,c, telles que : M(a, b, c) =aI+bJ+cK 2 23 2 CalculerJ,KetKerD.ete´nimrerunerelationentI,JetK,iasnqilypounueomnˆ annulateur deK. Quelles sont les valeurs propres possibles deK? t 2)Justifier qu’il existe une matriceP∈ M3(R) inversible, telle queD= (P)KPsoit une matrice diagonale. D´eterminerPetD´ietci´ocnosnpdrttelseeseideanne´lvqrsettleeud1,1< d2,2< d3,3`u(o di,jest le coefficient d’indicesi, jdeD.) 2 t 3)E´nceiravtnM=M(a, b, c) en fonction deI,K,K(ertcialamniree´d,mretP)M P. Ende´duirelesvaleurspropresdelamatriceM. Discuter suivant les valeurs dea,b,cle nombre de valeurs propres distinctes deMecr´tpeeris danschaquecaslessous-espacespropresassoci´es. √ √ 4)On suppose dans cette questiona= 4,b= 2,c= 2et on noteM=M(4,2,2).    0 x x    0 0t On poseX=y= (P)Xo,`uX=y 0 z z 3 a)ndOitnoofcntiale´nfsurR\ {(0,0,0)}par : t (X)M X f(x, y, z) = 2 ||X|| 202 i.Montrer que||X||=||X||puis que : 020202 4x+ 2y+ 8z f(x, y, z) = 020202 x+y+z 3 ii.Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum defsurR\(0,0,0) etd´eterminerlespointsenlesquelsilssontatteints. 2 b)Oncherched´rosesiam´ra`uoseeldreq´tiuaonB=Md’inconnueB∈ M3(R). i.SoitBuerqMnoe)s.orentuednoitultauqe´lilsn(ioteisexenBetMcommutent. Ende´duirequesiXappartient au sous-espace propreEλdeMrpruelavala`e´hctaatopre λ, alorsBXa`suisneatraitappEλ. Montrer que les vecteurs propres deMcteurspropresdeostne´agelemtnevB. t Justifier alors que Δ = (P)BPest une matrice diagonale. 2 t ii.´eso=(Rilon´ΔequudarteP)M Pd’inconnue Δ et donner le nombre de solutions de 2 le´quationB=M.
EXERCICE 2 Ond´enitunesuiter´eelle(un)nNpar : p u0>0 ;n>1, un=n+un1 1)Montrer que pour tout entiern,un>n. 1 2)a)Montrer que :xR+, x6(1 +x). 2   u0un1 b)tneiretuotruopeuqeriuedd´Enn,un6n+ puisque la suiteconverge n2n>1 2n vers 0.   un c)converge vers 0, puis en remarquant que, pour tout entierMontrer que la suiten n>1 n r unun1 non nul, 166ne,de´d+1quivalenuireun´edteunen +. n n √ √ 3)On posewn=unnail.Aeppoleve´dnudedn0det´eelimiment1+x, montrer que la suite (wn)nNadmet une limiteLopn´rcesire.aelqu √ √ 4)(Calculer limnn1) puislim (unun1). n+n+Justifier alors qu’il existe un entier naturelN0tel que pour tout entiern, sin>N0alors 1 un>un1. 2 Montrer queun+1un+est du signe de 1unun1, puis que la suite (un) est croissante a`partirduncertainrang. 5)urecr´onanayvesiulacsaPeitcnofenrireEcngagenlaptuonrmosuitequi calcule le terme d’indicende la suite lorsqueu0= 1.
` PROBLEME
XetYobprilabesmecepae´si,les,´eelresratoimneˆusurinse´detdanet´e´laselbairavxue inde´pendantes,admettantpourdensite´srespectivesfXetfY, on rappelle que la fonctionh d´eniepar Z +h(x) =fX(t)fY(xt) dt −∞ estunedensit´edelavariableale´atoireX+Y.
PartieI:Uncalculdint´egrale.
1)vseluelaudsree´rlDe´terminerpourquelαlt´inraegleJαreegocvn`ou Z +dt Jα= 2α (1 +t) 0 2)ue,pourtmontrerquorte´lenudediarge´tniearnpioats,iertpaAlα`aal1,roeuegu´spue´ir on a : Z +2 t1 dt=Jα 2α+1 (1 +t) 2α 0 End´eduireque,pourtoutr´eelαroeuri´eups:ano1a`lage´u 2α1 Jα+1=Jα 2α 3)CalculerJ1. Pourngal`a1,calculerreus´preeiruuoe´tienJn. 2
PartieII:LoideStudent`anegdiledse´r.e´treb PournNstru,ond´eniRla fonctiongnpar : 2n+1   t2 tR, gn(t1 +) = n 1 1)Justifier que, pour toutnNeustxile,ilerne´kntel que la fonctionfn=gnsoit une kn densite´deprobabilit´e.Exprimerkna`liaeddeJe´tidila,stjuena,avtsani(Onpourr. n+1 2 t utiliser le changement de variablesu=). n 2)Soient (Ω,A, Papserpecbabosili´eetun)Xlae´taioer´deinseruΩ(unevariable,A, P), de densit´efn. (On dira queXudStt`enatiuslenuedionde´egrbiredsle.´t)e a)Montrer queXenemulseitsre´pseenteisecnametuadn >1 et la calculer dans ce cas. b)Montrer queXadmet une variance si et seulement sin >2, exprimerV(X) en fonction de kn,netJ:euqreri´esvuip n1 2 n V(X) = n2 Lorsquen= 1tueSntdeal`adiol1delebire´tseappelleloideCauchyesnedenute´tidr´eg surRest donc : 1 1 f1:t7→ 2 π1 +t Partie III :Simulation d’une loi. ~ ~ Dansleplanrapport´ea`unrepe`reorthonormaldirect(O, i, j), un rayon lumineux part de l’origine Oqeaude´itnopr´eanre´ecrpeunortilrdae´apestnparftex= 1, en un pointM. On suppose que −−→π π ~ θ, mesure de l’angle (i, OMeal´eatoiredeloi)e,tsnuveraailbfinuemro]rus,[. 2 2 1)varadnletioiaptrer´eiondonctrlafnaetirtoeal´eabliaD´eretnemiθuqeriude´dnE.etanθest unevariableal´eatoire`adensite´,dontonexpliciteraunedensite´. 2)ExprimerYbliaar,vtoeal´eagelari´eodr`elaeeduonn´tpoinM, en fonction deθ. Reconnaˆıtre la loi deY. 3)On rappelle qu’en langage Pascal, la fonctionrandombairavenuelumisdelooire´eatleali uniforme sur ]0,`eidlereOn[.nscofnieamrogorpmmarvant:tiquesui1 program simu; var u,x:real; begin randomize ; u:=random ; x :=sin(pi*u-pi/2)/cos(pi*u-pi/2); end. Quelleloideprobabilit´eceprogrammepermet-ildesimuler?Expliquer. PartieIV:ObtentionduneloideCauchy`apartirdeloisnormales. Onconside`reunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). 1)SoitY´laelbaideriotaearevunΩ(rne´usei,A, Pn)aptrtioindio´eeref,dctonF. On notera Gernctiondelafoalednoititrape´roiat´ealleabriva|Y|. a)On suppose dans cette question queYdensit´eesneturivaelbae´laiotaederfcontinue sur R. Exprimerunedensit´edeYedediaal`fet montrer queYetYisteleiomˆemont seulement sifest paire. Onsupposecetteconditionve´rie´e.ExprimerGedidaale`Fet montrer que|Y|est une variableale´atoirea`densite´.Exprimerunedensit´egde|Y|en fonction def. 3
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