Ecricome 2005 mathematiques classe prepa hec (stg)

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption technologiqueMATHÉMATIQUESAnnØe 2005Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 4 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.Tournez la pageS.V.P1/4EXERCICE 1On note ’ la fonction numØrique d une variable rØelle x dØ…nie par : 1+x’(x) = ln 2x1 x1+x1. Etudier le signe du quotient suivant les valeurs du rØel x:1 x2. Justi er que l ensemble de dØ nition de ’ est l’intervalle I = ] 1;1[:3. Montrer que ’ est impaire.4. DØmontrer que pour x dans I;2x0’ (x) = 221 x5. En dØduire le tableau de variation de ’ en prØcisant les limites de ’ en 1 et en 1:6. (a) Quel est le signe de ’(x) sur l’intervalle I ?(b) Calculer la dØrivØe seconde de ’ sur I.(c) En dØduire que : 1 208x2 0; ; 06’ (x)62 3(d) Etudier la convexitØ de ’:7. On dØ nit la suite (u ) par :n n2N (1u =0 28n2N; u =’(u )n+1 n(a) On donne ln3< 1;1.1 1Montrer que si 06x6 alors 06’(x)6 , puis que :2 2 18n2N; u 2 0;n2(b) En utilisant l inØgalitØ des accroissements …nis, montrer que :28n2N; ju j6 ju jn+1 n3Puis que : n1 28n2N; ju j6n2 3(c) En dØduire la limite de la suite (u ) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option technologique
MATHÉMATIQUES
Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.
Lénoncé comporte 4 pages
Année 2005
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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EXERCICE 1 On note'la fonction numérique dune variable réellexdénie par :   1 +x '(x) = ln2x 1x 1 +x 1. Etudierle signe du quotientsuivant les valeurs du réelx: 1x 2. Justierque lensemble de dénition de'est lintervalleI= ]1;1[: 3. Montrerque'est impaire. 4. Démontrerque pourxdansI; 2 x 0 '(x) = 2 2 1x 5. Endéduire le tableau de variation de'en précisant leslimites de'en1et en1: 6. (a)Quel est le signe de'(x)sur lintervalleI? (b) Calculerla dérivée seconde de'surI. (c) Endéduire que :   1 2 0 8x20; ;06'(x)6 2 3 (d) Etudierla convexité de':
7. Ondénit la suite(un)n2Npar : ( 1 u= 0 2 8n2N; un+1='(un) (a) Ondonneln 3<1;1. 1 1 Montrer que si06x6alors06'(x)6, puis que : 2 2   1 8n2N; un20; 2 (b) Enutilisant linégalité des accroissements nis, montrer que : 2 8n2N;jun+1j6junj 3 Puis que :   n 1 2 8n2N;junj6 2 3 (c) Endéduire la limite de la suite(un)n2Nquandntend vers linni.
EXERCICE 2 On considère les matrices à coe¢ cients réelsPetQdénies par : 0 1 1 1 1 1 @ A P= 11 1; Q= (I+P) 4 1 1 1 Idésigne la matrice unité dordre 3.
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2 1. CalculerP ;P Q; QPen fonction deP: 2. Calculerles produits(4IP)QetQ(4IP):Quen concluez-vous pour la matriceQ? 3. Montrerque pour tout entier natureln, il existe des réelsanetbntels que : n Q=anI+bnP Les suites(an)et(bn)vériant les relations de récurrence : 8 1 >an+1=an < 4 1 >bn+1=an+bn : 4 aveca0= 1etb0= 0
4. Endéduireanen fonction den:
5. Montrerque pour tout entiern, non nul :
n1 X (bb) =b k+1k n k=0
6. Endéduire que pour tout entiern: 1 1 bn= (1) n 3 4 n 7. Donneralors lexpression, sous forme matricielle, deQen fonction de lentiern.
8. Onconsidère les suites réelles(xn)n2N,(yn)n2N,(zn)n2N, dénies par : 8 1 xn+1= (2xn+yn+zn) 4 > < 1 y= (x+ 2y+z) n+1nn n 4 1 >zn+1= (xn+yn+ 2zn) : 4 avecx0= 1,y0=z0= 0
On pose alors : 0 1 x n @ A U=y n n zn (a) DéterminerU0; U1. (b) Vérierque, pour tout entier natureln: U=QU n+1n (c) Puismontrer que, pour tout entier natureln: n Un=Q U0
(d) Endéduire lécriture dex,y,zen fonction den;puis leur limite lorsquentend vers plus linni. n n n
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EXERCICE 3 Une entreprise de sondage interroge des consommateurs sur lutilisation dun produit commercialA. La probabilité quune personne choisie au hasard parmi les utilisateurs du produitAsestime satisfaite de ce 2 produit est de: 3 On admet que les réponses des consommateurs sont indépendantes les unes des autres. 1. Lenquêteest e¤ectuée auprès dun échantillon de20consommateurs du produitA. OnnoteXla variable aléatoire égale au nombre de personnes satisfaites du produitA.
(a) Dénirla loi deXlespérance mathématique et la variance de. DonnerX. (b) Déterminerla probabilité quaucun consommateur ne soit satisfait du produitA.
2. On interroge une succession de consommateurs du produitA. Lerang du premier consommateur deA satisfait de ce produit dénit une variable aléatoireY. (a) Pourtout entier naturelknon nul, déterminer la probabilité de lévénement[Y=k]: (b) Donnersous la forme dune fraction irréductible les probabilités suivantes : i.P[Y <3]: ii.P[Y <4=Y >2]: (c) Déterminerle nombre entier minimumk0tel que la probabilité de lévénement[Y >k0]soit strictement   20 1 inférieure à. 3 3. Letemps, exprimé en minutes, consacré à interroger chaque consommateur est représenté par la variable aléatoireTdont une densité de probabilitéfest donnée par : t f(t) =tesit>0 f(t) = 0sit <0 (a) Alaide dune intégration par parties, calculer pourx>0, lintégrale, x Z t te dt, 0 (b) Endéduire quefest bien une densité de probabilité. (c) Déterminerla fonction de répartitionFTdeT. (d) Montrerque, pour tout entier natureln, la fonctionHndénie par : n X k x x 8x2R,Hn(x) = 1e k! k=0 est la primitive, qui sannule en0, de la fonctionhndénie par : nx x e 8x2R; hn(x) = n! (e) Enchoisissant des valeurs convenables pourndans la question qui précède, montrer que les espérances 2 E(T)etE(T)En déduire la variance deexistent et les calculer.T.
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