Ecricome 2006 mathematiques classe prepa hec (eco)

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ECRICOMEBanque d Øpreuves communesaux concours des Ecolesesc bordeaux / esc marseille / icn nancy / esc reims / esc rouen / esc toulouseCONCOURS D’ADMISSIONoption economiqueMATHÉMATIQUESAnnØe 2006Aucun instrument de calcul n est autorisØ. document n est autorisØ.L ØnoncØ comporte 5 pagesLes candidats sont invitØs à soigner la prØsentation de leur copie, à mettre en Øvidence les principauxrØsultats, à respecter les notations de l’ØnoncØ, et à donner des dØmonstrations complŁtes (mais brŁves)de leurs a¢ rmations.Tournez la pageS.V.P1/5EXERCICE 1. On considŁre la fonction f dØ…nie pour tout rØel x par :x:f (x) =x+1+2eainsi que la fonction g des deux variables rØelles x et y dØ…nie par :x 2 xg(x;y) =e x+y +e1. Recherche d’extremum local de g:1. Etudier les variations de f et donner les limites de f (x) lorsque x tend vers +1 et 1 .2. Justi er l’existence d une asymptote oblique au voisinage de 1 et donner la position de la courbe reprØsen-tative de f par rapport à cette asymptote.3. DØduire des variations de f l existence d un unique rØel , ØlØment de l intervalle [ 2; 1] tel que f () = 0.( on rappelle que e’ 2;7 )24. DØterminerleseulpointcritiquedeg, c est- -direleseulcouplede R , enlequelg estsusceptibledeprØsenterun extremum.5. VØri…er que g prØsente un extremum relatif en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum ?6. Montrer que l on a :24 + 1 = 02. Etude d’une suite rØelle.On s’intØresse à la suite (u ) dØ…nie par son premier ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse
CONCOURS DADMISSION
option economique
MATHÉMATIQUES
Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.
Lénoncé comporte 5 pages
Année 2006
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.
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EXERCICE 1 . Onconsidère la fonctionfdénie pour tout réelxpar : x :f(x) =x+ 1 + 2e ainsi que la fonctiongdes deux variables réellesxetydénie par :   x2x g(x; y) =e x+y+e
1. Recherchedextremum local deg: 1. Etudierles variations defet donner les limites def(x)lorsquextend vers+1et1. 2. Justierlexistence dune asymptote oblique au voisinage de1et donner la position de la courbe représen-tative defpar rapport à cette asymptote. 3. Déduiredes variations deflexistence dun unique réel, élément de lintervalle[2;1]tel quef() = 0. ( on rappelle quee'2;7) 2 4. Déterminerle seul point critique deg, cest-à-dire le seul couple deR, en lequelgest susceptible de présenter un extremum. 5. Vérierquegprésente un extremum relatifEst-ce un maximum ou un minimum ?en ce point. 6. Montrerque lon a : 2 4+1 = 0
2. Etudedune suite réelle. On sintéresse à la suite(un)dénie par son premier termeu0=1et par la relation n2N f(un) 8n2Nun+1=un0 f(un) 1. Prouverquefest convexe surR. Endéduire que que pour tous réelsxett:
0 f(x) + (tx)f(x)6f(t) 2. Endéduire linégalité suivante : 8n2N6u n+1 Puis que pour tout entier natureln. : 6un+16un61 En déduire que la suite(un)est convergente vers un réel à préciser n2N 3. Onadmet que pour toutxde lintervalle[2;1] : 2 (x) 0 06(x)f(x)f(x)6 e (a) Prouveralors que pour tout entier natureln: 2 (un) 06un+16 e (b) Puisdémontrer par récurrence que pour tout entier natureln: 1 06u6 nn 2 e1 4. Écrireun programme en langage Pascal permettant, lorsque lentier naturelpest donné par lutilisateur, de calculer une valeur approchée de, de telle sorte que lon ait : p 06un610
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EXERCICE 2 Pour tout entier natureln, on dénit la fonctionfnde la variable réellexpar :   2 x n fn(x) =xexp2 1 1. Justierquefn(x)au voisinage deest négligeable devant+1. 2 x +1 R 2. Prouverla convergence de lintégralefn(x)dx 0 +1 R 3. OposeIn=fn(x)dx 0
(a) Alaide dune intégration par parties portant sur des intégrales dénies sur le segment[0; A]avecA>0, prouver que pour tout entier natureln:
I= (n+ 1)I n+2n
(b) Enutilisant la loi normale centrée réduite, justier que : r I= 0 2
(c) Donnerla valeur deI1 (d) Démontrerpar récurrence que pour tout entier natureln:
r (2n)! I2n= n 2 2n! n I2n+1= 2n!
4. Soitfla fonction dénie pour tout réelxpar : f(x) =f1(x)six>0 f(x) = 0six <0
(a) Démontrerquefest une densité de probabilité. (b) SoitXune variable aléatoire réelle qui admetfpour densité de probabilité. i. JustierqueXadmet une espéranceE(X), et préciser sa valeur ii. JustierqueXadmet une varianceV(X), et préciser sa valeur.
2 5. Ondésigne parFetGles fonctions de répartitions respectives deXet deY=X
(a) ExprimerG(x)en fonction deF(x)en distinguant les deux cas :x <0etx>0 (b) Endéduire queYest une variable à densité.Reconnaître la loi deYet donner la valeur deE(Y)et V(Y)
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EXERCICE 3 Ecients réels, dont le degré est inférieur ou égal à lentier natureldésigne lespace des fonctions polynômes à coe¢ 2.
1. Etudedun endomorphisme deE. On considère lapplicationfqui, à tout élémentPdeE;associe la fonction polynômeQtelle que : 0 pour toutxréel :Q(x) = (x1)P(x) +P(x) etB= (P0; P1; P2)la base canonique deEdénie par : 2 pour tout réelx:P0(x) = 1; P1(x) =xetP2(x) =x
1. Montrerquefest un endomorphisme deE.
2. Vérierque la matriceAdefdansB, sécrit sous la forme : 0 1 11 0 @ A A= 022 0 0 3
3. Quellessont les valeurs propres def?fest-il diagonalisable ?fest-il un automorphisme deE? 4. Déterminerlimage parfdes fonctions polynômesR0; R1; R2dénies par : 2 pour tout réelx:R0(x) = 1; R1(x) =x1etR2(x) = (x1)
0 5. MontrerqueB= (R0; R1; R2)est une base de vecteurs propres defla matrice de passage. ÉcrirePde la 0 0 baseBà la baseBainsi que la matriceDdefdans la baseB:
6. Vérierque pour tout réelx:
R2x+ 2R1(x) +R0(x) =P2(x) R1(x) +R0(x) =P1(x)
0 En déduire la matrice de passage de la baseBà la baseB
11 7. ÉcrireAen fonction deD :Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln:    n n 111 A=PP D   n 1 et expliciter la troisième colonne de la matriceA
2. Suitedépreuves aléatoires. On dispose dune urne qui contient trois boules numérotées de 0 à 2. On sintéresse à une suite dépreuves dénies de la manière suivante :
La première épreuve consiste à choisir au hasard une boule dans cette urne.
Sijest le numéro de la boule tirée, on enlève de lurne toutes les boules dont le numéro est strictement supérieur àj, le tirage suivant se faisant alors dans lurne ne contenant plus que les boules numérotées de0 àj.
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eme On considère alors la variable aléatoire réelleXkégale au numéro de la boule obtenue à laképreuve (k>0) On note alorsUkla matrice unicolonne dénie par : 0 1 P[Xk= 0] @ A Uk=P[Xk= 1] P[Xk= 2]
eme P[Xk=j]est la probabilité de tirer la boule numérojà laképreuve. On convient de dénir la matriceU0par : 0 1 0 @ A U0= 0 1
1. Déterminerla loi deX2(On pourra saider dun arbre).Calculer lespérance et la variance deX2 2. Parutilisation de la formule des probabilités totales, prouver que pour tout entier naturelk:
1 3. ÉcrireUen fonction deAetU k0
1 Uk+1=A Uk
4. PourtoutkdeN, donner la loi deXket vérier que lon a :
limP[Xk= 0] = 1; k!+1
limP[Xk= 1] = 0; k!+1
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limP[Xk= 2] = 0 k!+1
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