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ECRICOME 2007 voie E
1. EXERCICE. SoitaOn considère la fonctionun réel strictement positif.fadénie pour tout réeltstrictement positif par : 2 1a fa(t) =(t+ ) 2t ainsi que la suite(un)nNde nombre réels déterminée par son premier termeu0>0 et par la relation de récurrence : 8n2Nu=f(u) n+1a n
1.1. Etude des variations de la fonctionfa. 1. Déterminerla limite defa(t)lorsquettend vers+1lexistence. Justier dune asymptote oblique au voisinage de+1et donner la position de la courbe représentative defapar rapport à cette asymptote. 2. Déterminer la limite defa(t)lorsquettend vers0par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite. + 3. Donnerlexpression de la fonction dérivée defasurRet dresser le tableau de variation defa. 4. Endéduire que : 8t >0fa(t)>a
1.2. Etude de la convergence de la suite(un)nN.. 1. Quedire de la suite(un)nNdans le cas particulier oùu0=a? 2. Dansla suite on revient au cas généralu0>0. Démontrer que : 1 0 8t > a0< f(t)< a 2 3. Montrerque pour tout entiern, non nul : u>a n
4. Prouveralors que pour tout entiernnon nul : 1 06un+1a6(una) 2 Puis que :   n1 1 junaj6ju1aj 2 5. Endéduire la convergence de la suite(un)et indiquer sa limite. 6. Enutilisant ce qui précède, écrire un programme en langage Pascal perme-ttant da¢ cher les100premiers termes dune suite(un), de premier terme p 1, convergeant vers2.
1.3. Recherche dextremum dune fonction à deux variables.   On considère, surRR, la fonctiongdénie par : + + 1 11 g(x; y( + )(1+) =x)(1 +y) 2x y   1. Calculerles dérivées partielles dordre1et2degsurRR: + +   2. Montrerquegadmet un extremum local surRRdont on précisera la + + nature. 3. Vérierque : x g(x; y) = 1 +f1(x) +f1(y) +f1( ) y   4. Endéduire que lextremum local est un extremum global degsurRR. + +
2. EXERCICE. M2(R)désigne lespace vectoriel des matrices carrées dordre2à coe¢cients réels. La matriceAsuivante étant donnée   31 A= 62 on dénit lapplicationpar : A :M2(R)!M2(R) A M7!(M) =AMM A A
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2.1. Diagonalisation de A. 2 1. VérierqueA=A:En déduire les valeurs propres possibles deA. 2. Prouverque la matriceAest diagonalisable et déterminer une matriceP inversible deM2(R)et une matrice diagonaleDdeM2(R)dont la première colonne est nulle vériant la relation : 1 A=P DP 1 Donner lécriture matricielle deP :
2.2. Diagonalisation de : A 1. Montrerqu eAest un endomorphisme deM2(R). 3 2. Etablir queXXest un polynôme annulateur de. Endéduire les A valeurs propres possibles de. A 3. Montrerque la matriceMest un vecteur propre deassociée à la valeur A 1 propresi et seulement si la matriceN=PP Mest non nulle et vérie léquation matricielle : DNN D=N   a b 4. OnposeN=: c d
1. Trouverlensemble des matricesNtelles queDNN D= 0.   2 1 2. Endéduire que la famille(A,M1)avecM1=est une base 6 3 du sous-espace propreKerassocié à la valeur propre0. A 3. Déterminerles deux autres valeurs propres non nulles1et2deA et caractériser les matricesNassociées. associé 4. Endéduire une base de chaque sous-espace propreE1etE1 aux valeurs propres1et2:
5. Lendomorphismeest-il diagonalisable ? A
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3. EXERCICE. Soucieux daméliorer le ux de sa clientèle lors du passage en caisse, un gérant de magasin a réalisé les observations suivantes :
3.1. Mode de paiement de la clientèle. 1. Létudedu mode de paiement en fonction du montant des achats a permis détablir les probabilités suivantes :
P[S= 0\U= 0] = 0:4 P[S= 0\U= 1] = 0:3 P[S= 1\U= 0] = 0:2 P[S= 1\U= 1] = 0:1
Sreprésente la variable aléatoire prenant la valeur0si le montant des achats est inférieur ou égal à50euros, prenant la valeur1sinon, etU la variable aléatoire prenant la valeur0si la somme est réglée par carte bancaire, prenant la valeur1sinon.
1. Déterminerles lois deSetUet vérier que la probabilité que le client 3 règle par carte bancaire est égale àp=. 5 2. Calculerla covariance du couple(S; U). LesvariablesSetUsont-elles indé-pendantes ? 3. Quelleest la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à50euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
2. Onsuppose que les modes de règlement sont indépendants entre les indi-vidus. Une caissière reçoitnclients dans sa journée(n>2). On dénit trois variables aléatoiresCn; L1; L2par : -Cncomptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire. ereme -L1(resp.L2)est égale au rang du1(resp.du2) client utilisant la carte bancaire comme moyen de paiement, sil y en a au moins un (resp.au moins deux) et à zéro sinon.
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1. Reconnaître la loi deCn, rappeler la valeur de lespérance et de la variance de cette variable aléatoire. 2. Déterminerla loi deL1et vérier que : n X P[L1=k] = 1 k=0 3. Déterminerla loi deL2.
3.2. Etude du temps moyen de passage en caisse. Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoireTdont une densité de probabilité est donnée par la fonctionfdénie par : x f(x) =xesix>0 f(x) = 0six <0 1. Rappelerla dénition dune densité de probabilité dune variable aléatoire Xsuivant une loi exponentielle de paramètre= 1la valeur de. Donner lespérance et de la variance deX. 2. Utiliserla question précédente pour vérier quefest bien une densité de probabilité, puis montrer queTadmet une espérance que lon déterminera. Quel est le temps moyen de passage en caisse ? 1. Démontrerque la fonction de répartition deT, notéeFTest dénie par : 8x <0FT(x) = 0 x 8x>0FT(x) = 1(x+ 1)e 2. Montrerque la probabilité que le temps de passage en caisse soit in-férieur à deux unités(de temps) sachant quil est supérieur à une unité 2e3 est égale à: 2e 3. Un jour donné, trois clientsA; B; Cse présentent simultanément devant deux caisses libres.Par courtoisie,Cdécide de laisser passerAetBet de prendre la place du premier dentre eux qui aura terminé.On suppose que les variablesTAetTBcorrespondant au temps de passage en caisse deAet Bsont indépendantes.
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1.Mdésignant le temps dattente du clientCexprimerMen fonction de TetT. A B 2. Montrerque la fonction de répartition de la variable aléatoireMest donnée par : + 22t 8t2RP[M6t] = 1(1 +t)e  8t2RP[M6t] = 0
3. ProuverqueMest une variable à densité et expliciter une densité de M.
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