Ecricome 2007 mathematiques classe prepa hec (s)

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1. EXERCICE.1. A l’aide de dØveloppements limitØs usuels que l’on rappellera clairement,montrer que lorsque x est au voisinage de 0 on ax 2 2ln(2 e ) = x x +o(x ):1. Montrer que pour tout entier k supØrieur ou Øgal à 2, on a :1=k2 e 2]0;1[:1=k2. EndØduirelesignede ln(2 e ), pourtoutentierk supØrieurouØgalà 2.1=k3. Quelle est la nature de la sØrie de terme gØnØral ln(2 e ) ?4. Pour n entier supØrieur ou Øgal à 2, on posenX1=kV = ln(2 e ) et u = expV :n n nk=2DØterminerlim V et lim u :n nn!+1 n!+11. Montrer que nX 11=kln(nu ) = ln(2 e ) ln(1 ) :nkk=21=k2. DØterminer un Øquivalent, quand k tend vers +1, de ln(2 e )1ln(1 ):kK3. En dØduire que u est Øquivalent, quand n tend vers +1, à avecnnK > 0.Quelle est la nature de la sØrie de terme gØnØral u ?n2. On posenXkS = ( 1) u :n kk=21. Etudier le sens de variations de la suite (u ) .n n>22. Montrer que les suites (S ) et (S ) sont deux suites adja-2n n>1 2n+1 n>1centes.n3. En dØduire la nature de la sØrie de terme gØnØral ( 1) u .n2. EXERCICE.M (R) dØsigne l’ensemble des matrices carrØes d’ordre n> 2, à coe¢ cients rØels.nPour tout ØlØmentA = (a ) deM (R), on appelle “trace deA”, et on noteij 16i;j6n nTr(A), la somme des ØlØments diagonaux, c’est-à-dire :nXTr(A) = a :iii=1On admet que Tr est une application linØaire deM (R) dansR telle quen8A2M (R); 8B 2M (R); Tr(AB) =Tr(BA):n ntOn note A la transposØe de la matrice A.1. Soit ’ l’application dØ…nie surM (R)M (R) par :n nt t ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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1. EXERCICE. 1. A laide de développements limités usuels que lon rappellera clairement, montrer que lorsquexest au voisinage de0on a x2 2 ln (2e) =xx+o(x):
1. Montrerque pour tout entierksupérieur ou égal à2, on a :
1=k 2e2]0;1[: 1=k 2. Endéduire le signe deln (2e), pour tout entierksupérieur ou égal à2. 1=k 3. Quelleest la nature de la série de terme généralln (2e)? 4. Pournentier supérieur ou égal à2, on pose n X 1=k Vn= ln(2e)etun= expVn: k=2 Déterminer limVnetlimun: n!+1n!+1 1. Montrerque   n X 1 1=k ln (nunln (2) =e)ln (1): k k=2 1=k 2. Déterminerun équivalent, quandktend vers+1, deln (2e)1 ln (1): k K 3. Endéduire queunest équivalent, quandntend vers+1, àavec n K >0. Quelle est la nature de la série de terme généralun? 2. Onpose n X k Sn= (1)uk: k=2
1. Etudierle sens de variations de la suite(un)n>2. 2. Montrer que les suites(S2n)n>1et(S2n+1)n>1sont deux suites adja-centes. n 3. Endéduire la nature de la série de terme général(1)un.
2. EXERCICE. Mn(R)désigne lensemble des matrices carrées dordren>2, à coe¢ cients réels. Pour tout élémentA= (aij)16i;j6ndeMn(R), on appelle trace deA, et on note T r(A), la somme des éléments diagonaux, cest-à-dire : n X T r(A) =aii: i=1
On admet queT rest une application linéaire deMn(R)dansRtelle que
8A2 Mn(R);8B2 Mn(R);
T r(AB) =T r(BA):
t On noteAla transposée de la matriceA. 1. Soit'lapplication dénie surMn(R) Mn(R)par : t tt 8A2 Mn(R);8B2 Mn(R); '(A; B) =T r(AB) (AB=AB): Exprimer'(A; B)en fonction des coe¢ cients deAetBet montrer que' est un produit scalaire surMn(R). On noteNla norme associée à ce produit scalaire. 2. SoientA; B2 Mn(R)but de cette question est de prouver que. Le
N(AB)6N(A)N(B): 1. Justierlexistence deP2 Mn(R)etD2 Mn(R)telles que t t P(AA)P=D Pest une matrice orthogonale etDune matrice diagonale. On notera par la suiteile coe¢cientdiide la matriceD= (dij)16i;j6n.
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t 2. Soitune valeur propre deAAetXun vecteur propre associé. t t En calculantX AAXde deux manières di¤érentes, montrer que>0. t t 3. OnposeS=P(B B)P= (sij)16i;j6nque. Montrer
2 [N(A)] =T r(D);
2 [N(B)] =T r(S);
2 [N(AB)] =T r(SD):
4. Montrerque n X T r(SD) =isii: i=1 eme 5. OnnoteEileivecteur de la base canonique deMn;1(R), espace des matrices àncients réels.Montrer quelignes et une colonne, à coe¢ t t2 EiSEi=jjBP Eijj; jj:jjdésigne la norme euclidienne canonique deMn;1(R), puis cal-t culerEiSEien fonction des coe¢ cients deS. Quen déduit-on, pourientier compris entre 1 etn, sur le signe desii ? 6. Montrerque  ! ! n nn X XX isii6isii i=1i=1i=1 puis conclure que N(AB)6N(A)N(B):
3. PROBLEME. Le préliminaire, les parties I et II sont indépendants.
3.1. Préliminaire
On considère deux variables aléatoires à densitéXetYdénies sur un même espace probabilisé, admettant des espérancesE(X); E(Y)et des variancesV(X); V(Y). On supposeV(X)>0dénit la covariance de. OnXetYpar
Cov(X; Y) =E[(XE(X))(YE(Y))] =E(XY)E(X)E(Y):
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1. Montrerque pour tout nombre réel,
2 V(X+Y) = V(X) + 2Cov(X; Y) +V(Y):
1. Enétudiant le signe du trinôme précédent, montrer que
2 (Cov(X; Y))6V(X)V(Y):
2. Aquelle condition nécessaire et su¢ sante a-t-on légalité
2 (Cov(X; Y)) =V(X)V(Y) ?
3.2. Partie I : Etude dune fonction de deux variables ndésigne un entier non nul,AetSdeux réels positifs ou nuls vériantS > nA. On dénit sur[0;+1[]0;+1[la fonctionLnpar : 8 1 (na+S) >1 < b Ln(a; b) =esi06a6A n b > : Ln(a; b) = 0sia > A
1 1. JustierqueLnest de classeCsur louvert]0; A[]0;+1[. Montrer queLnnadmet pas dextremum sur cet ouvert.
2. Montrerque
8a2[0; A[;8b2]0;+1[; Ln(a; b)< Ln(A; b):
Montrer que ce résultat est encore vrai pour toutade]A;+1[.
3. Soitgla fonction dénie sur]0;+1[parg(b) =Ln(A; b). Montrer quegadmet un maximum absolu sur]0;+1[, atteint en un point b0que lon exprimera en fonction deA; S; n.
4. Déduirede ce qui précède queLnadmet sur[0;+1[]0;+1[un maximum absolu atteint en un unique point(a0; b0)que lon précisera.
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3.3. Partie II : Etude dune loi Soita>0etb >0considère la fonction. Onfa;bdénie surRpar : 8 (xa) >1 < fa;b(x) =e bsix>a b > : fa;b(x) = 0sinon
1. Vérierquefa;bOn noteest bien une densité de variable aléatoire.E(a; b) la loi associée.
On considère désormais une variable aléatoireXde loiE(a; b).
2. Déterminerla fonction de répartition deX.
3. OnposeY=Xa. Déterminerla loi deYet la reconnaître. En déduireE(X)etV(X).
p 4. Soitp2N. MontrerqueXadmet un moment dordrep,E(X), et pour p p1 p >0déterminer une relation liantE(X)etE(X).
5.Simulation de la loiE(a; b):
1. SoitUune variable aléatoire de loi uniforme sur[0;1[. Montrer que la variable aléatoirebln (1U) +asuit une loiE(a; b). 2. Onrappelle quen langage Pascal, la fonctionrandompermet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur[0;1[. Ecrire, en langage Pascal, une fonctiontirage, de paramètresaetb simulant une variable aléatoire de loiE(a; b).
3.4. Partie III : Estimation des paramètresaetb aetbdésignent toujours deux réels tels quea>0etb >0. Onconsidère désormais une suite de variables aléatoires(Xi)i>1indépendantes identiquement distribuées de loiE(a; b). Pournentier supérieur ou égal à2, on considère les variables aléatoiresSnetYn
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dénies parSn=X1+X2+  +XnetYn= min(X1; X2; : : : ; Xn).
Le but de cette partie est de déterminer des estimateurs deaetb.
1. Lafonctiontirage, ainsi que les variables informatiquesa,b,X,S,Yde type realeti,nde typeintegerétant supposées dénies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce quil simuleSnetYn(les valeurs étant stockées respectivement dansSetY). begin randomize ; readln(a,b,n) ; X:=tirage(a,b) ; S:=... ; Y:=...; for i:= 2 to n do... : : : : : : : : : : : : : : : : : : ... end.
2. Déterminerlespérance et la variance deSn. 3. Quelleest la loi suivie par la variable aléatoire(X1a) + (X2a) +  + (Xna)? En déduire une densité deSn. 4. Déterminerla fonction de répartition deYn. En déduire queYnsuit une loiE(an; bn)(on préciseraanetbn). Donner les valeurs deE(Yn)etV(Yn). 1. Calculerle biais ainsi que le risque quadratique deYnen tant questimateur dea. 2. Rappelerlinégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment dordre 2. A laide de ce qui précède, prouver que(Yn)est une suite destimateurs deaasymptotiquement sans biais, convergente.
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S n 5. OnposeZn=Yn. n 1. Calculerle biais deZnen tant questimateur deb. 2. OnnoterZn(b)le risque quadratique deZnque. Montrer 2 2 2b b2 rZ(b) =+Cov(Sn; Yn): n 2 n nn 3. Alaide du préliminaire montrer que limrZ(b) = 0 n n!+1 et en déduire que(Zn)est une suite destimateurs debasymptotique-ment sans biais, convergente.
6. Pourun échantillon donné(x1; : : : ; xn), avecminfx1; : : : ; xng 6= maxfx1; : : : ; xng, correspondant à une réalisation desnvariables aléatoiresX1; : : : ; Xn, on dénit la fonctionLsur[0;+1[]0;+1[par
n Y L(a; b) =fa;b(xi): i=1
1. Montrer queLest la fonctionLndénie dans la partie I, pour des valeurs deAetSque lon précisera en fonction desxi. 2. Comparerles estimations deaetbobtenues sur léchantillon(x1; : : : ; xn) à partir deYnetZnavec les valeursa0etb0obtenues dans la partie I.
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