EDHEC 1999 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EDHEC 1999 S
Vendredi 7 mai 1999, de 8h `a 12h
L’´enonc´e comporte 4 pages.
Exercice 1
Pour chaque entier naturel
,
o
n
d
´efinit la fonction
par :
.
1.
´
Etude de
.
a) Montrer que
,
e
s
t
d
´erivable sur son domaine et donner son sens de variation.
b) D´eterminer
.
c) En d´eduire que pour chaque entier naturel
, il existe un unique r´eel, not´e
,
´el´ement de
, tel que
.
2.
´
Etude de la suite
.
a) Montrer que
.
b) Montrer que:
.
3. On pose
a) Montrer que
.
b) Calculer
.
c) D´eduire de l’encadrement obtenu en 2.b que
Exercice 2
Une urne contient une boule noire et
boules blanches,
d´esignant un entier sup´erieur ou
´egal `a
. On vide l’urne en effectuant des tirages d’une boule de la mani`ere suivante : le premier
tirage s’effectue sans remise, le deuxi`eme s’effectue avec remise, le troisi`eme s’effectue sans remise,
le quatri`eme s’effectue avec remise... D’une mani`ere g´en´erale, les tirages d’ordre impair s’effectuent
sans remise et les tirages d’ordre pair s’effectuent avec remise de la boule tir´ee.
1.
a) Quel est le nombre total
de tirages effectu´es lors de cette ´epreuve?
b) Pour
´el´ement de
, combien reste-t-il de boules avant le
-i`eme tirage?
Combien en reste-t-il avant le
-i`eme tirage?
On d´esigne par
la variable al´eatoire qui vaut
si la boule noire est obtenue au
-i`eme tirage
(que ce soit la premi`ere fois ou non) et
sinon. On d´esigne par
la variable al´eatoire ´egale au
nombre d’apparitions de la boule noire lors de cette ´epreuve.
2.
a) Calculer
,
.
b) Pour tout entier naturel
de
, calculer
et
.
c) En d´eduire la loi suivie par toutes les variables
.
1
3. Pour tout
´el´ement de
, on note
l’´ev´enement ”On obtient la boule noire pour la
premi`ere fois au
-i`eme tirage”.
a) En consid´erant l’´etat de l’urne avant le
-i`eme tirage, montrer que
.
Montrer que:
.
b) Exprimer l’´ev´enement
en fonction des
, puis en d´eduire la valeur de
.
c) Montrer que
.
4. Montrer que
, puis en d´eduire l’esp´erance de
.
5. Soit
un entier naturel compris entre
et
.
a) Pour tout
de
, donner la valeur de
.
b) En d´eduire que
.
6. Soit
un entier naturel compris entre
et
.
a) Montrer que, pour tout
de
.
b) Montrer que, pour tout
de
.
c) En d´eduire que:
7. Montrer que la variance de
est:
.
Exercice 3
On consid`ere l’espace vectoriel
; on note
l’endomorphisme identit´e de
et
l’endomorphisme
nul de
. On note
la base canonique de
.
Le but de cet exercice est de trouver les couples
d’endomorphismes de
v´erifiant les 4 asser-
tions suivantes:
:
(il faut comprendre
).
:
.
:
.
:
.
1.
Etude d’un exemple.
V´erifier que les endomorphismes
et
dont les matrices dans
sont respectivement
et
sont solutions du probl`eme pos´e.
On revient au cas g´en´eral et on consid`ere un couple
solution du probl`eme.
2
2.
a) Montrer que
et
sont des automorphismes de
, puis donner
et
en fonction de
,
et
.
b) Pour tout entier naturel
, exprimer
comme combinaison lin´eaire de
et
.
3.
a)
´
Etablir que :
.
b) En d´eduire, en raisonnant sur les dimensions, que :
.
4. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que :
.
5. Soit
une base de
; on pose:
.
a) Montrer que
est une base de
.
b) Donner les matrices de
et
dans cette base.
6. Donner la conclusion de cet exercice.
Problme
Pour tout entier naturel
non nul, on consid`ere les fonctions r´eelles
d´efinies par:
et
.
On appelle
, l’espace vectoriel engendr´e par la famille
. On note
l’application qui
`a toute fonction de
,
a
s
s
o
c
i
e
s
a
f
o
n
c
t
i
o
n
d
´eriv´ee.
Partie I
1. Montrer que la famille
est une base de
.
2.
a) Calculer
, puis montrer que:
.
b) Montrer que
est un endomorphisme de
.
3.
a) V´erifier que
est un automorphisme de
.
b) Justifier que :
.
c) En d´eduire, pour tout
de
, l’expression de
dans la base
.
4. Utiliser la question pr´ec´edente pour montrer que, pour tout entier naturel
,
l
i
n
t
´egrale
converge, puis donner sa valeur en fonction de
.
5. Montrer que l’application qui `a tout couple
de
, associe
est un produit scalaire sur
.
Pour tout
de
, on note d´esormais
la norme de
.
Partie II
1. On pose
.
3
a) Rappeler le th´eor`eme qui assure l’existence d’un unique ´el´ement
de
v´erifiant:
.
On pose d´esormais
.
b) Pour tout
de
, rappeler pourquoi
.
c) En d´eduire que pour tout
´el´ement de
:
2. On consid`
e
r
e
l
a
f
o
n
c
t
i
o
n
d´efinie pour tout
r´eel par:
a) V´erifier que
.
b) En d´eduire explicitement
, puis v´erifier que
.
3.
a) Montrer que
.
b) En d´eduire la valeur de
.
4
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