EDHEC 2001 mathematiques classe prepa hec (ece)

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EDHECSchool of managementECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORDConcours d’admission sur classes prØparatoiresMATHEMATIQUESOption ØconomiqueAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : seule ul tilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.L utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectronique est interdite.Exercice 1E dØsigne un espace vectoriel rØel surR; rapportØ à sa baseB = (e ;e ;e ).1 2 3On dØsigne par a un rØel non nul et on considŁre el ndomorphisme f de E, dØ ni par :af (e ) = 0 f (e ) =f (e ) =ae +e aea 1 a 2 a 3 1 2 321. (a) Ecrire la matrice A de f relativement à la base B et calculer A .a a a(b) Montrer que 0 est la seule valeur propre de A .a(c) A est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ?a2. On pose u =ae +e ae .1 1 2 30(a) Montrer queB = (u ;e ;e ) est une base de E1 2 3 0 10 0 10 @ A(b) VØri…er que la matrice de f relativement à la baseB est K = 0 0 0 .a0 0 0Dans la suite, on cherche à caractØriser les endomorphismes g de E tels que gg =f .a03. On suppose qu un tel endomorphisme g existe et on note M sa matrice dansB .2(a) Expliquer pourquoi M =K puis montrer que MK =KM.1/30 10 x y@ A(b) DØduire de ces deux relations ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EDHEC School of management
ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires
MATHEMATIQUES Option économique Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Exercice 1 Edésigne un espace vectoriel réel surR;rapporté à sa baseB= (e1; e2; e3). On désigne paraun réel non nul et on considère lendomorphismefade E, déni par : fa(e1) = 0fa(e2) =fa(e3) =ae1+e2ae3 2 A. 1. (a)Ecrire la matriceAadefarelativement à la base B et calculera (b) Montrerque0est la seule valeur propre deAa. (c)AaEst-elle inversible ?est-elle diagonalisable ? 2. Onposeu1=ae1+e2ae3. 0 (a) MontrerqueB= (u1; e2; e3)est une base deE 0 1 0 0 1 0 @ A (b) Vérierque la matrice defarelativement à la baseBestK0 0= 0. 0 0 0 Dans la suite, on cherche à caractériser les endomorphismesgde E tels quegg=fa. 0 3. Onsuppose quun tel endomorphismegexiste et on note M sa matrice dansB. 2 (a) ExpliquerpourquoiM=Kpuis montrer queM K=KM.
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0 1 0x y @ A (b) Déduirede ces deux relations queM0= 0z,x,yetzétant 3 réels tels quexz= 1. 0 0 0 0 4. Réciproquement,vérier que tout endomorphismegdont la matrice dansBest du type ci-dessus est solution degg=fa.
Exercice 2 On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à 3 résultats di¤érentsR1; R2etR3de probabilités respectives P1; P2etP3a donc. OnP1+P2+P3= 1et on admet que, pour toutidef1;2;3g,0< Pi<1. On e¤ectuenépreuves indépendantes du type de celle décrite ci-dessus. Pour toutidef1;2;3g, on noteXila variable aléatoire qui vaut1si le résultat numéroinest pas obtenu à lissue desnépreuves et0sinon. On désigne parXla variable égale au nombre de résultats qui nont pas été obtenus à lissue desnépreuves. 1. (a)Justier soigneusement queX=X1+X2+X3: (b) Donnerla loi deXi, pour toutidef1;2;3g. (c) Endéduire lespérance deX, notéeE(X). La suite de cet exercice consiste à rechercher les valeurs des réelsPien lesquellesE(X)admet un minimum 2n local. Pource faire, on notefla fonction dénie sur louvert]0;1[]0;1[deRpar :f(x; y) = (1x) + n n (1y) +(x+y). 2. (a)On poseP1=xetP2=yque. VérierE(X) =f(x; y). 2 (b) Montrerquefest une fonction de classeCsur]0;1[]0;1[. (c) Déterminerles dérivées partielles dordre1def. (d) Endéduire que le seul point en lesquelles les dérivées partielles dordre1de f sannulent simultanément   1 1 est le point;. 3 3 (e) Démontrerquefprésente un minimum local en ce point. (f) Donnerla valeur deE(X)correspondant à ce minimum.
Exercice 3 8 f(x) = 0six <0 < 2 x Soitfla fonction dénie par : : f(x) =xe2six>0 1. Vérierque f est une densité de probabilité. La durée de vie dun certain composant électronique est une variable aléatoireXdont une densité estf. 2. (a)Déterminer la fonction de répartitionFdeX. 1 (b) Calculerla médiane deXcest-à-dire le réeltel quep(X6) =. 2 3. Onappelle mode de la variableXtout réel x en lequelfatteint son maximum.Montrer que X a un seul mode, notéMo, et le déterminer. 4. (a)En utilisant un résultat connu concernant la loi normale, établir que X a une espérance et montrer que p 2E(X) =. 2 (b) Calculer,à laide dune intégration par parties, la variance deX.
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Problème Partie 1 n P1 On pose, pour tout entiernsupérieur ou égal à1,vn=. k k=1 k+1 R 1dt 1. Montrerque :8k2N;6. k+ 1t k 2. Endéduire que :8n2N; v6ln(n) + 1. n
Partie 2 On considère une suite(un)dénie par son premier termeu0= 1et par la relation suivante, valable pour tout 1 entier n :un+1=un+. un 1. (a)Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement déni et strictement positif. (b) Endéduire le sens de variation de la suite(un). 2 22 2. (a)Pour tout entierk, exprimeruuen fonction deu. k+1k k n1 P1 2 (b) Endéduire que :8n2N; u= 2n+ 1 +. n 2 u k=0 k 2 (c) Montrerque :8n2N; un+ 1. Endéduire la limite de la suite(u n>2n). 3. (a)A laide du résultat précédent, montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 : 1 un62n+ 2 +vn1. 2 (b) Enutilisant la partie 1., établir que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 : 5 ln(n1) 2 u62n+ +. n 2 2 p (c) Endéduire nalement queun2nquandn!+1.
Partie 3 1. Ecrireun programme en Turbo Pascal permettant de calculer et da¢ cherunlorsque lutilisateur entre la valeur denau clavier.
2. (a)Ecrire un deuxième programme, toujours en Turbo Pascal, qui permette de déterminer et da¢ cher le plus petit entier naturelnpour lequelun>100. (b) Ondonneln2<0;70etln5<1;61. Endéduire un majorant deln 5000. (c) Montrerque lentierntrouvé en 2a) est compris entre4995et5000.
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