EDHEC 2002 concours (1)

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EDHEC 2002 concours (1)

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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edhec 2002. Option scientifique.
EXERCICE 1 Z 1 1)a)1(Morenteuqrnilge´telarlnt) dtconverge et donner sa valeur. 0 Z x 1lnt b)dMontrer quetconverge pour toutxstrictement positif. 2 2 +t 0 Z x 1lnt x >0, F(x) =dt 2 On pose alors : 2 +t 0 F(0) = 0 c)Montrer queFest continue en 0. 1 d)Montrer queFest de classeCsur ]0,+[ et donner ses variations (la limite deFen +nestpasdemand´ee). 2)tiusalti(en´endOuntrremeeirap)emnn´eladoonpredesu0r1e=utree,ncednoce´reralital valable pour toutndeN:un+1=F(un). ´ a)Etablir que, pour toutndeN,un[0,1]. b)Montrer queu0u1(rpraernri´neecrustvearrmcsedl´eenpo,disuaiitiuetlesaun). c)Eirdu´endusaleuqe(etiun) est convergente. 3)Pour toutxde [0,1], on pose :g(x) =F(x)x. 0 a)oMertnuqrqieununusietlixelr´eeβde ]0,1] tel queg(β) = 0, puis donner les variations deg. b)lee´inunreuqnE´ddeiutencedurelexisαe]e´,eml´tdenβ,1] tel queg(α) = 0. 4)a)Montrer que :nN, unα. b)miEnuqleuired´edun=α. n+
EXERCICE 2 Dans cet exercice,xetyrtcietemtnopisitignentdesr´eelssse´d.sf Uncommerc¸antsefournitaupre`sdungrossistepourconstituersonstockaude´butdelasaison 2002,lequelconsisteenuncertainnombredunit´esdunproduitdeconsommation. Chaqueunit´evendueparcecommerc¸antluirapporteunb´en´ecenetdexeuros alors que chaque unite´invenduea`landelasaisonengendreunepertenettedeyeuros. Cecommerc¸antdoitconstituersonstockaud´ebutdelasaisonetde´sirede´terminerlataillende cestockandemaximisersonespe´rancedegain. Onadmetquelenombredunite´squiserontcommande´esa`cecommer¸cantpendantlasaison 2002estunevariableal´eatoirea`valeursdansN´teeno,X. On noteYnouifitosifategn´elage´erp(niaguande`alalacemod)ceactnem¸rvariableal´eatoial saison 2002. Ond´esigneparU1sutvauieqirtoeaae´lailbvaraliXnet qui vaut 0 siX > n. Onadmetquecesvariablessonttoutesde´niessurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,A, P). 1)En distinguant deux cas selon la valeur deUmontrer que : Yn= (xX(nX)y)U+nx(1U) 2)a)reileuqravalbaieV´erXUprend ses valeurs dans{0,1, . . . , n}. b)ecedrenase´pe,lsommmedesforuos,remirpxEXUlolaa`eidaildedeX. n X c)Montrer enfin queE(Yn) = (x+y) (kn)P(X=k) +nx. k=0 x Dans la suite, on suppose queP(X= 0)<. x+y
n X 3)a)ExprimerE(Yn+1E(Yn) en fonction dex,yetP(X=k). k=0 b)Montrer qu’il existe un unique entier natureln0tel que : n0n0+1 X X x x P(X=k)<etP(X=k)x+y x+y k=0k=0 c)e´psenosgedecnarcoenn,aiantutinstd´Enuiedqurececemoem¸ractnsetsˆurdemaximiser un stock de taillen1=n0+ 1. 4)uee´etUnqremradtemrepsteenedc´´eprnssossiasredcuuotiaeuefastiqtatiudesXsuit la loidePoissondeparame`trea,o`uatnemisoprtsletciunsteer´eit.f a)ExprimerP(X=ken fonction de+ 1)P(X=k). b)lecutrereplttemdtnalaceammeenTurboPascarue´rcriuepnorrg´eerrcsepoatltsuilitU d’affichern1lorsque l’utilisateur entre au clavier les valeurs dex,yeta.
EXERCICE 3 Onconside`redeuxvariablesale´atoiresX1etX2dedensiceitevs´tseerpsf1etf2strictement positivesetd´erivablessurR. On suppose qu’il existe une fonctiongru,e´deeni´etdvariesblR+, telle que : 2 22 (x.y)R, f1(x)f2(y) =g(x+y) 1)On suppose, dans cette question seulement, queX1, etX2suivent toutes les deux la loi x 12 normaleN(0,1). Montrer que :xR+, g(x) =e . 2π 0 02 2 f(x) 2g(x+y) 1 2)a)Montrer que :xR,yR,= 2 2 xf1(x)g(x+y) 0 f(x) 1 b)On notehond´nctilafoserueinRparh(x.) = xf1(x) Soientx1, etx2uxqueedontnlsnuon.Mertree´ridslnitsestch(x1) =h(x2end´eduire)te quehest une fonction constante surR. On noteacette constante. 2 ax c)Soitknctilafoe´rtleouepourtd´onniexpark(x) =f1(x. Montrer que)e 2kest ∗ ∗ constante surR+ainsi que surR. Ende´duirequekest constante surRtlniexresqriomun,u´urpsieteelKtel que : 2 ax 2 xR, f1(x) =Ke d)Utiliser le fait quef1etsnudeneis´tdeeprobabilit´epounomrrerteuqaest strictement r 1 n´egatif.Onposedor´enavantσ1= . a e)nEequreuiedd´X1suit la loi normaleN(0, σ1). 3)lnadmetquOmtnortreleopnuea¸efnqcoladeemmˆnuetee´rliusixeσ2strictement positif tel queX2suive la loi normaleN(0, σ2). Montrer,enrevenanta`lade´nitiondeget en calculantgfa¸cons,que()1ededxuσ1=σ2, cest-a`-direqueX1etX2ottnevius.amelniroemolamˆeeuxllesdutes
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` PROBLEME
Danstoutleproble`me,nntieeunesignd´eer´eaegiruusu´opr.ule`nlr2taa n On noteIdl’application identique deR.
n PartieI:´etudedessyme´triesdeR. n SoientF1etF2deux sous-espaces vectoriels deRtlue,uenrvectseultsauedui,nr´on n supple´mentaires,cest-a`-diretelsqueR=F1F2. n Onappellesym´etrieparrapport`aF1nemea`talarell`pF2, l’endomorphismesdeRurponie´d n toutxdeRtel quex=x1+x2( avecx1F1etx2F2) pars(x) =x1x2. Danslestroispremi`eresquestions,onconsid`ereunetellesyme´trienot´ees. 1)a)Montrer que :xF1, s(x) =x. b)r(eueKriqee´udEdnsId) =F1. 2)a)Montrer que :xF2, s(x) =x. b)End´edre(iueruqKes+Id) =F2. 3)queremruortnonedepsetnspr´ec´squestiolisireeltUsest diagonalisable et donner une forme n possible de la matrice desbaneaut`enemivatsleedreRdeveceetrupsorrpdeesconstitu´e s. 4)etm´synee.rialameetsdeurtcieteluuntriclemameuq,tnetnomqrerecR´roip
PartieII:e´tudededeuxexemples.
3 3 1)Soitsl’endomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique deRest :   –1 2 2 1   M= 22 –1 3 2 –12 a)lrseimentere´Desderoprurspvalesssoci´es.inaqusieselussopse-secaporpaser b)End´eudriqeeuestsnuseietr´eym. n 2)Soitsun endomorphisme deRtel quess=Id. n a)Montrer que, pour toutxdeR:x+s(x)Ker(sId) etxs(x)Ker(s+Id). b)ereKqureuiedd´En(sId) et Ker(s+Idpl´ement)sontsuperia.s ´ c)Etablir enfin ques(ra`eKiepa´etrportrraptlesymassIdralap)enemell`(eraKt`s+Id). PartieIII:sym´etriesorthogonales. n Onconside`relespacevectorielR, muni de sa structure euclidienne usuelle dans lequel le produit scalairecanoniqueestnot´eh,i. n Pour tout sous-espace vectorielFdeRtdlenuurntre´eiedn,no´reulvecteeduitausE, on appellesym´etrieorthogonaleparrapporta`Fm´syrietarepppra`troaalFment`aapllarele`F. 1)Dans cette question, on suppose quen= 3. Montrer que la matriceM,pr´esent´eedanlsa premie`requestiondeladeuxie`mepartie,estlamatricedunesym´etrieorthogonale. n 2)ere`senuocnOdisn´eymietrsdeR:etnaviusectoeesde´atsnpeoropquivalenblirl´e sutsehorteorietm´synelumeteeselisoganientssest un endomorphisme sym´etrique. n a)On suppose quesdemsihmyserte´euqieunstdoenrpmoR. V´erierque:xKer(sId),yKer(s+Id),hx, yi= 0, puis, conclure quesest la syme´trieorthogonaleparrapporta`Ker(sId). n b)SoitFun sous-espace vectoriel deRuitar´ed,nondentre´eitdelunruetcevluesuE. Onprendmaintenantlhypoth`ese:sm´etlasyrthorieoelapoganoptrrrpa`atseF. 3
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