EDHEC 2003 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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uan1––abnn nuub a–2anuuuauau–n –u––nua–nu–bn ___________________ Option scientifique Mardi 20 mai 2003, de 8h __________ La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qua lité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Les candidats sont invités Ils ne doivent faire usa ge d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 mk[ X ] tel que = , on rå kk = 0A de ( ), ( A ) = I + A + ... + A , où I ( ). 0 1 et [ X ] et si A ( ), alors : ( )( A ) = ( A ) ( A ). n = 0, = 1, de , = 4 5 + 2 . 0 1 2 n +3 n +2 n +1 næ n + 2Pour ce faire, on pose, pour tout de , X = . n n + 1Ł łnA de ( , " ˛ , X = A X . 3 n +1 n2A I ) ( A I ) = 0. 2 de [ X ( X ) = ( X 1) ( X 2). , R ) de [ X ] · [ X ], tel que : n n 2 n " ˛ , X = R . n n b. Montrer que pour tout entier naturel , et n n n2 R ( X ) = + ( X 1) + ( X 1) . n n n nn c. Établir que : " ˛ , = 1, = et = 2 1. n n n c IN c tels que : c , il existe des réels + Q P IN IR IR Q xistence et l’unicité d’un couple ( a. Justifier l’e P ] défini par IR P 2) On considère le polynôme ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires ___________________ MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 20 mai 2003, de 8h à 12h __________La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Exercice 1 m k åk Pdésignant un polynôme de IR[X] tel queP=a X, on rappelle que, pour toute matrice k=0 m Ades(IR),P(A) =a0I+a1A+ ... +amA, oùIdésigne la matrice unité des(IR). M M On admet que siPetQsont deux polynômes de IR[X] et siAest une matrice des(IR), alors: M (P Q)(A) =P(A)Q(A). On se propose de déterminer explicitement le terme général de la suite (un) définie par : u0= 0,u1= 1,u2et la relation, valable pour tout= 1nde IN,un+3= 4un+2– 5un+1+ 2un. æun+2ö ç ÷ Pour ce faire, on pose, pour toutnde IN,Xn=u. ç ÷ n+1 ç ÷ èuø n 1) a.Écrire la matriceAde3:(IR), indépen,Xn+1=A Xn. ndante den, telleque" ÎINM 2  b.Vérifier que (AI) (A– 2I) = 0. 2 2) On considère le polynômePde IR[X] défini parP(X) = (X– 1)(X– 2).  a.Justifier l’existence et l’unicité d’un couple (Qn,Rn) de IR[X]´IR2[X], tel que : n "nÎIN,X=P Qn+Rn.  b.Montrer que pour tout entier natureln, il existe des réelsan,bnetcntels que : 2 Rn(X) =an+bn(X– 1)+cn(X– 1). n  c.Établir que :"nÎIN,an= 1,bn=netcn= 2n– 1.
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n 3) a.Utiliser la question précédente pour écrire, pour toutnde IN,Acomme combinaison 2  linéairedeI,AIet (AI) . n  b.Pour toutnde IN, donner la troisième ligne de la matriceA. æ1ö ç ÷ n 4) a.Montrer que :"nÎIN,Xn=A 1 . ç ÷ ç ÷ è0ø  b.En déduire, pour toutnde IN,unen fonction den. Exercice 2Soitpun entier naturel etfune fonction continue, strictement positive, décroissante sur [p, +¥[ et telle quef(t)dtconverge. òp n å Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àp, on poseSn=f(k) . k=p 1) a.Utiliser la décroissance defmontrer que, pour tout entier naturel pournsupérieur ou n  égalàp, on a :Snf(p)£f(t)dt. òp  b.En déduire que la série de terme généralf(n) est convergente. On pose désormais, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àp,Rn=f(k) . å k=n+1 2) a.Montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àp, on a : +¥ +¥ f(t)dtf(n)£Rn£f(t)dt. ònòn  b.En déduire une condition suffisante portant surf(n) etf(t)dtpour que : òn Rn ~f(t)dt. ò + ¥n 1 3) Dans cette question, pour tout réelx+de [2,¥[, on posef(x) =. 2 x( lnx)  a.Montrer que cette fonction vérifie les quatre hypothèses de l’énoncé ainsi que la  conditiontrouvée àla question 2b). 1 å2  b.En déduire un équivalent, lorsquenest au voisinage de +¥, deRn= . k( lnk) k=n+1  c.La série de terme généralRn(n³1) estelle convergente ?
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Exercice 3 t Pour toute matriceAde3(IR), on noteAla matrice transposée deAet tr(A) la trace deA, M c’estàdire la somme des éléments diagonaux deA. On noteI lamatrice unité de3(IR) eton considère la matriceJ, élément de3(IR), définie M M æ0 1 0ö ç ÷ parJ= 0 0 1. ç ÷ ç ÷ è0 0 0ø t À tout couple (A,B) de3(IR)´3(IR), on associe le réel <A,B(> = trA B). M M 1) Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur3(IR). M Dans toute la suite, on se place dans l’espace euclidien3(IR) muni de ce produit scalaire. M 2 2) Montrer que (I,J,J) est une famille orthogonale. 2 3) On noteEle sousespace vectoriel de3(IR) engendré par (I,J,J). M  a.Déterminer une base orthonormale deE, notée (K0,K1,K2) telle que, i0  pourtoutide {0, 1, 2},Ki soitproportionnelle àJ(avec bien sûrJ=I).  b.SoitAune matrice quelconque de3(IR) dont le terme situé à l’intersection M ème ème  delailigne et de lajcolonne est notéai,j.  Pourtoutide {0, 1, 2}, déterminer <Ki,A> en fonction de certains des éléments deA.  c.On notepla projection orthogonale surE. Exprimerp(A) en fonction deK0,K1,K2et  decertains éléments deA.  d.En déduire une base de Kerp. ProblèmePartie 1 Dans cette partie,rdésigne un entier naturel etxdésigne un réel de ]0,1[. ème 1) Pour tout entier naturelknon nul, calculer la dérivéekde la fonctionf, 1  définiesur ]0,1[, par :f(x) =. r+1 (1-x) r nn 2) Montrer que, lorsquenest au voisinage de +¥,C~ . n+r r! r+1n 3) Montrer quelimn x= 0. n® +¥ x-t 4) Soitjxla fonction définie sur [0,x] parjx(t) =. 1-t  Montrerque :"tÎ[0,x], 0£jx(t)£x. 5) a.Écrire la formule de Taylor entre 0 etxavec reste intégral pour la fonctionfà l'ordren.n x dt k knn  b.En déduire que : 0£f(x) –C x£ (n+r+ 1)C x. år+2 ò0 k+r n+r (1-t) k=0 1 k k  c.Montrer finalement que :"xÎ]0, 1[,"rÎIN,C x= . år+1 k+r (1-x) k=0
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Partie 2 Dans cette partie,ndésigne un entier naturel non nul. On effectue une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes telles que pour chacune d’entre elles, la probabilité de succès soit égale àp, avec 0 <p< 1. On noteXnle nombre d’épreuves qu’il faut réaliser pour obtenir, pour la première foisnsuccès, pas forcément consécutifs (Xnest donc le numéro de l’épreuve où l’on obtient le ème nsuccès). On convient queXn= 0 si l’on n’obtient pasnsuccès. 1) Dans cette question seulement, on considère le casn= 1.  a.Reconnaître la loi deX1.  b.Donner l’espérance et la variance deX1. Dans toute la suite, on suppose quen³2. 2) a.DéterminerXn(W).  b.Pour tout entier naturelk, calculer la probabilité que l’on obtiennen– 1 succès au cours  desn+k– 1 premières épreuves. n-1n k  c.Déduire de la question précédente que :"kÎIN,P(Xn=n+k) =C p(1-p) . n+k-1 å  d.Utiliser le résultat de la partie 1 pour vérifier queP(X=n+k1.) = n k=0  EndéduireP(Xn= 0). On dit queXnsuit la loi binomiale négative de paramètresnetp. n-1n 3) a.Montrer que :"nÎIN*,"kÎIN, (n+k)C=nC. n+k-1n+k + =,  b.En utilisant le fait que, pour tout entier natureln,åP(X+1=n+1k) 1 n k=0  montrerqueXnpossède une espérance et donner sa valeur en fonction denetp. n-1 n-1n-2 4) a.Montrer que :"n³2,C=C. n+k-1n+k-2 n+k-1  b.Utiliser le théorème de transfert pour montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur n-1n-1  ouégal à2, possèdeune espérance et queE( )=p. X-1X-1 n n n 5) a.Justifier quepossède une espérance (on n’en demande pas le calcul). X n n n  b.Montrer, sans calculerE( ),queE>( )p. X X n n 6) Dans cette question, on suppose que le paramètrepest inconnu. n-1n  Pourtoutn³2, on pose :Yn=etZn= . X-1X n n  Desdeux suites (Yn)n³2et (Zn)n³2, laquelle est un estimateur sans biais dep? On ne se  préoccuperapas de l’éventuelle convergence de ces estimateurs.
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