EDHEC 2005 mathematiques classe prepa hec (ece)

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EDHEC 2005Option ´economiqueExercice 1 1 0 0 1 0 0 0 0On note J = , J = , J = ,et J = , et on rappelle que la1 2 3 40 0 0 0 1 0 1 0famille(J ,J ,J ,J ) est une base deM (R).1 2 3 4 2 a bSoit f l’application qui, a` toute matrice M = deM (R), associe f (M) =M +(a+d)I2c d 1 0ou` I d´esigne la matrice0 11. Montrer que f est un endomorphisme deM (R).22. a) Exprimer f (J ), f (J ), f (J ), et f (J ) comme combinaisons lin´eaires de J , J , J et1 2 3 4 1 2 3J .4 2 0 0 1 0 1 0 0 b) V´erifier que la matrice A de f dans la base (J ,J ,J ,J ) est A =1 2 3 4  0 0 1 01 0 0 2c) Justifier que f est diagonalisable.3. a) Montrer que (J −J ,J ,J ,I) est une base deM (R)1 4 2 3 2´b) Ecrire la matrice D de f dans cette base.−1c) En d´eduire l’existence d’une matrice P inversible telle que A =P DP−14. a) D´eterminer la matrice P .n n −1b) Montrer que, pour tout n deN, A =P D Pnc) En d´eduire explicitement la matrice A .Exercice 22x y +12 2 ( )Soit f la fonction d´efinie surR par : ∀(x,y)∈R , f (x,y) =xe2 21. Justifier que f est de classe C surR .2. a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles premi`eres de fb) En d´eduire que le seul point en lequel f est susceptible de pr´esenter un extremum localest A = (−1,0).3. a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles secondes de f.b) Montrer qu’effectivement, f pr´esente un extremum local en A. En pr´eciser la nature et lavaleur.2 x4. a) Montrer que: ∀(x,y)∈R , f (x,y)≥xe .xb) En ´etudiant la ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EDHEC 2005 Optione´conomique
Exercice 1      1 00 10 00 0 On noteJ1=, J2=, J3=,etJ4=,et on rappelle que la 0 00 01 01 0 famille(J1, J2, J3, J4) est une base deM2(R).   a b Soitfrtamecita`,etuoationquilapplicM= deM2(R),associef(M) =M+ (a+d)I c d   1 0 o`uIecirtamagnel´esid 0 1 1. Montrerquefest un endomorphisme deM2(R). 2. a)Exprimerf(J1), f(J2), f(J3),etf(J4edseria)ocmmceisnabiom´einslonJ1, J2, J3et J4.   2 0 0 1 0 1 0 0   b)V´erierquelamatriceAdefdans la base (J1, J2, J3, J4) estA=   0 0 1 0 1 0 0 2 c) Justifierquefest diagonalisable. 3. a)Montrer que (J1J4, J2, J3, I) est une base deM2(R) ´ b) Ecrirela matriceDdefdans cette base. 1 c)Ende´duirelexistencedunematricePinversible telle queA=PP D 1 4.a)D´eterminerlamatriceP. n n1 b) Montrerque, pour toutndeN,A=P DP n c)Ende´duireexplicitementlamatriceA.
Exercice 2 2 ( ) 2 2x y+1 Soitfeinrusctiond´elafonRpar :(x, y)R, f(x, y) =x e 2 2 1. Justifierquefest de classeCsurR. 2.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellespremi`eresdef b)End´eduirequeleseulpointenlequelfseaclmuolemtrexunerntse´erpedelbitpecsust estA= (1,0). 3.a)D´eterminerlesde´riv´eespartiellessecondesdef. b) Montrerqu’effectivement,funextrempr´esentenmuolacelAtunaetreiseclaerE.pn´ral valeur. 2x 4. a)Montrer que:(x, y)R, f(x, y)x e. x b)Ene´tudiantlafonctiongruseine´dRparg(x) =,x eortme´vuoccnlurequelextremu 2 a`laquestion2b)estunextremumglobaldefsurR.
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Exercice 3 Dans cet exercice,a.fmeteictrtisipontgien´dseeeslnu´r a1 a(1t) sit[0,1[ 1.Onconside`relafonctionfsurRpar :f(t) = 0 sit/[0,1[ Z x a) Pourtoutxde [0,1[,calculerf(t)dt 0 Z 1 b)Ende´duirequef(t)dtraegt´innetuesaleur.onnersavegtneedtelocvnre 0 c) Montrerquef´e.ilitneeummcoontincfoe´tisnedbaborped´eideer´reetnscopˆtue Onconsid`eremaintenantunevariableal´eatoireXadmettantfmedensit´eetonnoetmocFsa fonctiondere´partition. 2. ExpliciterF(xl´reeottuurpo)x. Onseproposeded´eterminerlespe´ranceE(X)et la varianceV(Xraailbaed)levael´eatoirX. Pour ce faire, on poseY=ln (1X) et on admet queYn´e.Onsiterioeda`laeltae´vaneabritues note alorsGdnretcoifanosn.ioitrtpa´e 3.a)Pourtoutre´elxpositif, exprimerG(x) en fonction dex b)Ende´duirequeYedepeeille`rtramatluioialpoexntnesa. Z +λ x 4.a)Pourtoutre´elλ >0, donner la valeur dee dx. 0 Y b)End´eduirequelavariableale´atoireeenurlevasaernndoposs`edrenaecteueense´p fonction dea. c) ExprimerXen fonction deYqerieue´udesdnp,iuXnop`ssouedeesneerp´ceanntdo donnera l’expression en fonction dea.   a 2Y2Y d)Montrerquelavariableale´atoireeee`edopsssp´euneeeetqureancE e= a+ 2 Y End´eduirelavariancedeepuis la variance deX.
Proble`me Unmobilesed´eplacesurlespoints`acoordonn´eesentie`resdunaxedorigineO Aude´part,lemobileest`alorigine. Lemobilesed´eplaceselonlar`eglesuivante:silestsurlepointdabscisseknsinttala`n, alors, `alinstant(n+ 1)il sera sur le point d’abscisse (k+1)aeil´tabibpaorevlcp(0< p <1) ou sur le pointdabscisse0aveclaprobabilite´1p. Pour toutndeN, on noteXntsnalnisbaltecedssci`antoiepnet l’on a doncX0= 0. On admet que, pour toutndeNXnnuseapecrpbobaliis´e(Ωed´stnieures,A,P). Par ailleurs, on noteTibomeseluortopevlaurempreri`oieflinstantauquelleoir`slas(naigens comptersonpositionnementaude´part). Parexemple,silesabscissessuccessivesdumobileapr`essond´epartsont0,0,1,2,0,0,1,alorson aT= 1.Si les abscisses successives sont:1, 2, 3, 0, 0, 1, alors on aT= 4. On admet queTr(Ωaeotridee´neiusunstarevblial´eae,A,P) 1. a)Pour toutkdeNv´´elert(enemenmirpxe,T=kenem´ev´mettentsneof)nodcnitteann jeu certaines des variablesXi. EDHEC eco 2005Page 2/ 3
b) Donnerla loi deX1. c)Ende´duireP(T=k) pour toutkdeN, puis reconnaˆıtre la loi deT. 2.a)Montrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln,Xn(Ω) = [[0, n]] b) Pour toutndeN,ueslritil`tmesesyetplomecenv´´ed(stnemeXn1=k) pour 0kn1 montrer que :P (Xn= 0) = 1p ´ 3. a)Etablir que :nN,k∈ {1,2, . . . n+ 1},P (Xn+1=k) =pP (Xn=k1) k b)Ende´duireque:nN,k∈ {0,1,2. . . , n1}(, PXn=k) =p(1p). End´eduire´egalementlavaleurdeP(Xn=n). Donnerune explication probabiliste de ce dernierr´esultat. n X c)V´erierqueP(Xn=k) = 1. k=0 1 4. Danscette question et dans cette question seulement, on prendp= . 3 On rappelle querandom(3)renvoie au hasard un entier de{0,1,2}. Compl´eterleprogrammesuivantpourquilsimulelexpe´rienceal´eatoire´etudi´eeetachela valeur prise parXnpour une valeur dentulsilie´rtrapeenr.ateu Program edhec2005 ; Var k, n, u, X : integer ; begin Readln(n) ; Randomize ; X:=O; For k:=1 to n do begin u := random(3) ; if (u = 2) then X :=.........; else X :=.......; end ; Writeln (X) ; end. n1 X n n1 (n1)pn p+ 1 k1 5. a)Montrer que :n2, kp= 2 (1p) k=1 n p(1p) b)End´eduirequeE(X) =. 1p   2 2 6. a)Montrer, en utilisant la question 3a), que :nN, EX=p(E(X) + 2E(Xn) + 1). n+n n+1   p 2 E X2n1) b) Pourtout entier natureln, on poseun=n+ ( 1p p(1 +p) Montrer queun+1=p un+ 1p 2 c)End´eduirelexpressiondeun, puis celle deE(X) en fonction depetn. n p n2n+1 d) Montrerenfin que:V(Xn) =2(1(2n+ 1)p(1p)p) (1p)
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