Effet bilame et mecanique des microsystemes

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Effet bilame et mecanique des microsystemes Les composants constitues de plusieurs couches de materiaux differents sont tres frequents dans les systemes electromecaniques ou microelectroniques. La connaissance de leurs proprietes mecaniques est essentielle afin de leur garantir une duree de vie suffisante et d'eviter l'apparition de defauts. Ces composants sont souvent le siege de contraintes d'origine thermique dues a la difference de proprietes thermoelastiques des materiaux utilises. On envisage ici le cas elementaire du bilame constitue de deux couches possedant des coefficients de dilatation distincts. L'objet du probleme est de mettre en evidence l'effet bilame de maniere quantitative et d'en deduire ensuite quelques consequences dans le domaine des composants electroniques (microprocesseurs, etc.). 1 Comportement d'un bicouche On considere une plaque composee de deux couches de materiaux differents. La geometrie de la plaque est engendree par translation le long d'un axe 0X3 a partir d'une surface plane S dont le contour exterieur est de forme quelconque. L'epaisseur de la plaque obtenue est supposee significativement plus petite que les deux autres dimensions caracteristiques. Le reperage est cartesien orthonorme. Une vue en perspective et une section 0X10X3 du bicouche font l'objet de la figure 1. La couche inferieure constitue le substrat, d'epaisseur hs. Il est recouvert d'une couche ou film d'epaisseur hf . L'epaisseur totale de la plaque est h = hs + hf . Conformement au systeme de coordonnees cartesiennes indique sur la figure 1, l'interface entre les deux materiaux est a la cote X3 = 0.

  • possedant des coefficients de dilatation distincts

  • champ de deplacements

  • isotropie du probleme dans le plan ox1ox2

  • coefficient de dilatation thermique

  • condition d'interface

  • equations de compatibilite


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Eetbilameetm´ecaniquedesmicrosyst`emes
Lescomposantsconstitue´sdeplusieurscouchesdemat´eriauxdie´rentssonttr`esfre´quents danslessyste`mes´electrom´ecaniquesoumicroe´lectroniques.Laconnaissancedeleurspropri´et´es m´ecaniquesestessentielleandeleurgarantirunedure´edeviesusanteetde´viterlapparition dede´fauts.Cescomposantssontsouventlesie`gedecontraintesdoriginethermiquedues a`ladie´rencedepropri´et´esthermo´elastiquesdesmat´eriauxutilis´es.Onenvisageicilecas ´ele´mentairedubilameconstitu´ededeuxcouchesposs´edantdescoecientsdedilatation distincts.Lobjetduprobl`emeestdemettreen´evidenceleetbilamedemani`erequantitative etdende´duireensuitequelquescons´equencesdansledomainedescomposantse´lectroniques (microprocesseurs, etc.).
1 Comportement d’un bicouche Onconsidereuneplaquecompose´ededeuxcouchesdemat´eriauxdie´rents.Lage´om´etrie ` delaplaqueestengendre´epartranslationlelongdunaxe0 X 3 a`partirdunesurfaceplane S dontlecontourexte´rieurestdeformequelconque.Le´paisseurdelaplaqueobtenueestsuppose´e signicativementpluspetitequelesdeuxautresdimensionscaract´eristiques. Lerepe´rageestcart´esienorthonorme´.Unevueenperspectiveetunesection0 X 1 0 X 3 du bicouche fontlobjetdelagure1.Lacoucheinf´erieureconstituelesubstrat,d´epaisseur h s . Il est recouvertdunecoucheoulmde´paisseur h f .Le´paisseurtotaledelaplaqueest h = h s + h f . Conform´ementausyst`emedecoordonne´escarte´siennesindique´surlagure1,linterfaceentre lesdeuxmate´riauxesta`lacote X 3 = 0. L’origine O durepe`reestunpointdelinterfacesitu´e loindesbordsdelaplaque.Lasurfaceinfe´rieureS,lasurfacesup´erieureetlinterfaceontpour e´quationsrespectives X 3 = h s , X 3 = h f et X 3 =0.Ledomainedespaceoccupe´parlaplaque peutdonceˆtrenote´ S × ] h s , h f [. On notera ∂S la ligne du bord de S et ∂S × ] h s , h f [ la surfacelate´raledelaplaque. Linterfaceestsuppos´eeparfaite 1 ,cesta`direque,danslesconditionsdechargementdu probl`eme,aucuned´ecoh´esionnissurenepeuventapparaˆıtre`alinterface. Lesubstratestconstitue´dunmat´eriauthermoe´lastiquelin´earis´eisotrope(moduledeYoung E s , coefficient de Poisson ν s , coefficient de dilatation thermique α s ).Lacouchesup´erieureest constitu´eedunmate´riauthermo´elastiqueline´aris´eisotrope(moduledeYoung E f , coefficient de Poisson ν f , coefficient de dilatation thermique α f ).Chaquemat´eriauestsuppose´dansson e´tatnaturellorsquilesta`latempe´ratureder´ef´erence T 0 . Lobjectifduproble`meestdede´terminerlaformequeprendlebicouchelorsquonleporte a`latempe´rature T ,suppos´eetellequelonrestedanslecontexteinnite´simal.Danstoutle obl`placed´elib´er´ementdanslhypoth`esedespetitesperturbations. pr eme, on se On adopte l’approche en contraintes et l’on recherche si un champ de contraintes internes biaxiales de la forme σ = σ s = σ 1 s 1 ( X 3 ) e 1 e 1 + σ s 22 ( X 3 ) e 2 e 2 pour h s < X 3 < 0 (1) σ = σ f = σ f 11 ( X 3 ) e 1 e 1 + σ 2 f 2 ( X 3 ) e 2 e 2 pour 0 < X 3 < h f (2) 1 Lesdeuxcouchesme´talliquespeuventeˆtresoud´ees,braseesoucolamine´es. ´
1
peuts´etablirdanslebicouchelorsquilestport´e`alatemperature T . Seules deux composantes ´ nonnullesdescontraintessontdoncrecherch´ees,avecenoutreunede´pendanceparrapporta` la seule variable X 3 . Lescontraintesreveˆtentlamˆemeformedanslesubstratetlelmmaissontrepre´sent´ ees a priori pardesfonctionsdie´rentescaracte´rise´esparlesexposants s et f , respectivement. Lisotropieduproble`medansleplan OX 1 OX 2 incitea`penserquecescontraintessonte´quibiaxiales.Lescontraintesrecherche´essontdonctellesque: σ s 11 ( X 3 ) = σ 2 s 2 ( X 3 ) , σ f 11 ( X 3 ) = σ 2 f 2 ( X 3 ) (3) Aucunchargementme´caniqueexte´rieurnestappliq´nt.Seulelatemp´eratu ue au composa re, suppos´eehomog`enedanslaplaque`achaqueinstant,passedelavaleurinitiale T 0 a`lavaleur actuelle T .
1.1Etatdecontraintes´equibiaxiales Etudierlesconditionsd´equilibrelocalduchampdecontraintespropos´eauseindelaplaque. Justierenoutrequelonaitconside´r´eque σ 33 = 0. Lechampdecontraintespropose´esta`divergencenulle.Eneet,lesd´eri´tielles σ vees par 11 , 3 et σ 22 , 3 sontlesseulesquisoientsusceptiblesdeˆtrenonnulles.Ellesninterviennentpasdans l’expression de la divergence des contraintes. Un tel champ est donc admissible du point de vue dese´quationsd´equilibre.Lechoix σ 33 = 0 est compatible avec l’existence des surfaces libres X 3 = h s , X 3 = h f etaveclatroisie`mee´quationd´equilibreimpliquantlade´rive´ede σ 33 par rapporta` X 3 .Ilfautenoutreve´rierlaconditiondinterface: [ σ ] . n = [ σ ] . e 3 = 0
1.2D´eformationsdescouches Calculerinde´pendammentdanschaquecouchelesde´formationse´lastiquespuistotalesen fonctiondescontraintesintroduitespr´ec´edemmentetdele´cartdetemp´erature T T 0 . Lanotationsuivantepourlemoduled´elasticit´ebiaxialeseraadopte´e: f M s :=1 E s ν s , M f :=1 Eν f (4)
Laloid´elasticit´eisotropeline´arise´efournit,inde´pendammentdanschaquecouche, lexpressiondesde´formationse´lastiquesenfonctiondescontraintes: 1 + ν ε e = E σ νE (trace σ ) 1 (5) ε e 11 = ε 2 e 2 =1 Eνσ 11 , ε e 33 = 2 Eνσ 11 (6)
Onend´eduitque
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