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Eetbilameetm´ecaniquedesmicrosyst`emes
Lescomposantsconstitue´sdeplusieurscouchesdemat´eriauxdie´rentssonttr`esfre´quents danslessyste`mes´electrom´ecaniquesoumicroe´lectroniques.Laconnaissancedeleurspropri´et´es m´ecaniquesestessentielleandeleurgarantirunedure´edeviesusanteetde´viterlapparition dede´fauts.Cescomposantssontsouventlesie`gedecontraintesdoriginethermiquedues a`ladie´rencedepropri´et´esthermo´elastiquesdesmat´eriauxutilis´es.Onenvisageicilecas ´ele´mentairedubilameconstitu´ededeuxcouchesposs´edantdescoecientsdedilatation distincts.Lobjetduprobl`emeestdemettreen´evidenceleetbilamedemani`erequantitative etdende´duireensuitequelquescons´equencesdansledomainedescomposantse´lectroniques (microprocesseurs, etc.).
1 Comportement d’un bicouche Onconsidereuneplaquecompose´ededeuxcouchesdemat´eriauxdie´rents.Lage´om´etrie ` delaplaqueestengendre´epartranslationlelongdunaxe0 X 3 a`partirdunesurfaceplane S dontlecontourexte´rieurestdeformequelconque.Le´paisseurdelaplaqueobtenueestsuppose´e signicativementpluspetitequelesdeuxautresdimensionscaract´eristiques. Lerepe´rageestcart´esienorthonorme´.Unevueenperspectiveetunesection0 X 1 0 X 3 du bicouche fontlobjetdelagure1.Lacoucheinf´erieureconstituelesubstrat,d´epaisseur h s . Il est recouvertdunecoucheoulmde´paisseur h f .Le´paisseurtotaledelaplaqueest h = h s + h f . Conform´ementausyst`emedecoordonne´escarte´siennesindique´surlagure1,linterfaceentre lesdeuxmate´riauxesta`lacote X 3 = 0. L’origine O durepe`reestunpointdelinterfacesitu´e loindesbordsdelaplaque.Lasurfaceinfe´rieureS,lasurfacesup´erieureetlinterfaceontpour e´quationsrespectives X 3 = h s , X 3 = h f et X 3 =0.Ledomainedespaceoccupe´parlaplaque peutdonceˆtrenote´ S × ] h s , h f [. On notera ∂S la ligne du bord de S et ∂S × ] h s , h f [ la surfacelate´raledelaplaque. Linterfaceestsuppos´eeparfaite 1 ,cesta`direque,danslesconditionsdechargementdu probl`eme,aucuned´ecoh´esionnissurenepeuventapparaˆıtre`alinterface. Lesubstratestconstitue´dunmat´eriauthermoe´lastiquelin´earis´eisotrope(moduledeYoung E s , coefficient de Poisson ν s , coefficient de dilatation thermique α s ).Lacouchesup´erieureest constitu´eedunmate´riauthermo´elastiqueline´aris´eisotrope(moduledeYoung E f , coefficient de Poisson ν f , coefficient de dilatation thermique α f ).Chaquemat´eriauestsuppose´dansson e´tatnaturellorsquilesta`latempe´ratureder´ef´erence T 0 . Lobjectifduproble`meestdede´terminerlaformequeprendlebicouchelorsquonleporte a`latempe´rature T ,suppos´eetellequelonrestedanslecontexteinnite´simal.Danstoutle obl`placed´elib´er´ementdanslhypoth`esedespetitesperturbations. pr eme, on se On adopte l’approche en contraintes et l’on recherche si un champ de contraintes internes biaxiales de la forme σ = σ s = σ 1 s 1 ( X 3 ) e 1 e 1 + σ s 22 ( X 3 ) e 2 e 2 pour h s < X 3 < 0 (1) σ = σ f = σ f 11 ( X 3 ) e 1 e 1 + σ 2 f 2 ( X 3 ) e 2 e 2 pour 0 < X 3 < h f (2) 1 Lesdeuxcouchesme´talliquespeuventeˆtresoud´ees,braseesoucolamine´es. ´
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peuts´etablirdanslebicouchelorsquilestport´e`alatemperature T . Seules deux composantes ´ nonnullesdescontraintessontdoncrecherch´ees,avecenoutreunede´pendanceparrapporta` la seule variable X 3 . Lescontraintesreveˆtentlamˆemeformedanslesubstratetlelmmaissontrepre´sent´ ees a priori pardesfonctionsdie´rentescaracte´rise´esparlesexposants s et f , respectivement. Lisotropieduproble`medansleplan OX 1 OX 2 incitea`penserquecescontraintessonte´quibiaxiales.Lescontraintesrecherche´essontdonctellesque: σ s 11 ( X 3 ) = σ 2 s 2 ( X 3 ) , σ f 11 ( X 3 ) = σ 2 f 2 ( X 3 ) (3) Aucunchargementme´caniqueexte´rieurnestappliq´nt.Seulelatemp´eratu ue au composa re, suppos´eehomog`enedanslaplaque`achaqueinstant,passedelavaleurinitiale T 0 a`lavaleur actuelle T .
1.1Etatdecontraintes´equibiaxiales Etudierlesconditionsd´equilibrelocalduchampdecontraintespropos´eauseindelaplaque. Justierenoutrequelonaitconside´r´eque σ 33 = 0. Lechampdecontraintespropose´esta`divergencenulle.Eneet,lesd´eri´tielles σ vees par 11 , 3 et σ 22 , 3 sontlesseulesquisoientsusceptiblesdeˆtrenonnulles.Ellesninterviennentpasdans l’expression de la divergence des contraintes. Un tel champ est donc admissible du point de vue dese´quationsd´equilibre.Lechoix σ 33 = 0 est compatible avec l’existence des surfaces libres X 3 = h s , X 3 = h f etaveclatroisie`mee´quationd´equilibreimpliquantlade´rive´ede σ 33 par rapporta` X 3 .Ilfautenoutreve´rierlaconditiondinterface: [ σ ] . n = [ σ ] . e 3 = 0
1.2D´eformationsdescouches Calculerinde´pendammentdanschaquecouchelesde´formationse´lastiquespuistotalesen fonctiondescontraintesintroduitespr´ec´edemmentetdele´cartdetemp´erature T T 0 . Lanotationsuivantepourlemoduled´elasticit´ebiaxialeseraadopte´e: f M s :=1 E s ν s , M f :=1 Eν f (4)
Laloid´elasticit´eisotropeline´arise´efournit,inde´pendammentdanschaquecouche, lexpressiondesde´formationse´lastiquesenfonctiondescontraintes: 1 + ν ε e = E σ νE (trace σ ) 1 (5) ε e 11 = ε 2 e 2 =1 Eνσ 11 , ε e 33 = 2 Eνσ 11 (6)
Onend´eduitque
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