EIA 2001 epreuve de mathematiques classe prepa tsi

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Mathématiques Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les trois problèmes sont indépendants et doivent être traités. La calculatrice personnelle est interdite. Problème 1 On considère la fonction f :[O, T-C]’ + [R définie par : Yh - 4 si OIy1x17z f(x,y)= x(ii2y) si OIxIy17r et f(x,y)= 2 Partie A @I Préciser la valeur defsur les bords du carré [0, xl2 OMontrer que V(x,y)~[O,nf , f(y,~)=f(~,y) @ Calculer l’intégrale double J{O,n,, f(x,y)dxdy @ À toute fonction continue I,U : [0, TC+ [R , on associe la fonction u définie par: a) Montrer que u est deux fois dérivable et calculer U’(X) et U”(X) b) que u est solution de l’équation différentielle -2u”(x)=ty(x) avec u(O)=0 et u(7c)=O 7r c) Dans le cas où I,U (x) = sin( n x) avec n entier strictement positif, donner l’expression de u sous forme d’une intégrale et donner la solution de l’équation différentielle du @ b) Partie B Pour y l ]0,71[ on définit une fonction qY sur [R, 2x-oériodiaue et impaire telle que: vx E [OP x] 7 cp,W=.fkY) @ Pour y E] 0, TC [ donné, déterminer le développement en série de Fourier de qY [ On peut soit faire le calcul direct, soit utiliser le résultat du @ c) ] n=m sin(n X) sin(n y) ct de 0 Pour (x,Y)E]O,~~[‘, en déduire une expression simple de c n2 ?I=l n=m sin2 (n x) c n2 n=l k=m @ a) À l’aide de la question précédente, calculer la somme S’ = c ’ k=O (2k + 1)2 Page 1 k=m n=m b) On pose S” = c -!- et S = c A= 5” +s” . Montrer que ces séries convergent et k=l (2k)2 n=l ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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