EIA 2004 epreuve de mathematiques classe prepa tsi

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Math´ematiquesDur´ee : 3 heures. - Coefficient : 3Les exercices sont ind´ependants.La calculatrice personnelle est interdite.Exercice 1Notations : M (C) d´esigne l’ensemble des matrices carr´ees de dimension 3 sur le corps C. a, b, c sont des nombres3complexes. On note I, J et M(a,b,c) les matrices suivantes     1 0 0 0 1 0 a b c     0 1 0 0 0 1 c a bI = J = M(a,b,c) =0 0 1 1 0 0 b c a2iπ/3 2 4iπ/3On note j =e . j =j =e est une autre racine cubique de l’unit´e.Partie I2 3I.1. Calculer J et J .I.2. D´eterminer les valeurs propres de J. La matrice J est-elle diagonalisable sur le corps C? L’est-elle sur lecorpsR?I.3. Pour chaque valeur propre de J d´eterminer le vecteur propre associ´e ayant 1 pour premi`ere composante, etune matrice P de passage a` une base de vecteurs propres. 2 3I.4. ExprimerlamatriceM(a,b,c)a`l’aidedesmatricesI,J etJ .End´eduirequeH = M(a,b,c)| (a,b,c)∈Cest un sous-espace vectoriel deM (C) pour les lois usuelles (somme et loi externe). Pr´ecisez la dimension3de H.2I.5. Montrer que les vecteurs propres (complexes) deJ sont aussi vecteurs propres deJ ainsi que deM(a,b,c).En d´eduire les valeurs propres de M(a,b,c) `a l’aide de celles de J, puis en fonction du nombre complexe j.I.6. Montrer que tout ´el´ement de H est diagonalisable surC. Donner la d´ecomposition de M(a,b,c) en fonctionde la matrice P du I.3 et d’une matrice diagonale que l’on explicitera.I.7. On suppose ici que les coefficients (a,b,c) sont r´eels.a) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Math´ematiques Dure´e:3heures.-Coecient:3 Lesexercicessontinde´pendants. La calculatrice personnelle est interdite. Exercice 1 Notations :M3(Csegienl)s´ddesmatriensembledseemidecsec´rraleurrpcosien3sonC.a,b,csont des nombres complexes. On noteI,JetM(a, b, c) les matrices suivantes     1 0 00 1 0a b c     I= 01 0J= 00 1M(a, b, c) =c a b 0 0 11 0 0b c a 2iπ/3 24iπ/3 On notej=e.j=j=etseertuaenu´t.euinnecuraciedelbiqu Partie I 2 3 I.1. CalculerJetJ. I.2.De´terminerlesvaleurspropresdeJ. La matriceJest-elle diagonalisable sur le corpsC? L’est-elle sur le corpsR? I.3. Pourchaque valeur propre deJeuctveleeaprrorpae´icossuop1tnayde´nireetmrrpremi`erecomposnaete,t une matricePdesspae`agneauesabeveduetcrpsr.spoer   2 3 I.4. Exprimerla matriceM(a, b, camsedediala`)esictrI,JetJuqe´ddeiuerEn.H=M(a, b, c)|(a, b, c)C est un sous-espace vectoriel deM3(Cidemzealnsnoirne)exteecis.Pr´os(selleiolteemmleurpo)susuoisl deH. 2 I.5. Montrerque les vecteurs propres (complexes) deJsont aussi vecteurs propres deJainsi que deM(a, b, c). End´eduirelesvaleurspropresdeM(a, b, csdleededilece`)alaJ, puis en fonction du nombre complexej. I.6.Montrerquetout´el´ementdeHest diagonalisable surC.Dneonndesopmoitidalroce´M(a, b, c) en fonction de la matricePdu I.3 et d’une matrice diagonale que l’on explicitera. I.7. Onsuppose ici que les coefficients (a, b, c.)sstronel´e a) Montrerque toutes les valeurs propres deM(a, b, csileeuntmes)el´etrontsiessleb=c. b)De´terminerlesvaleurspropresdeM(a, b, c) ainsi que lesslee´rserprospcepaess-ousicossa´es. Partie II   SoitEdidensmen3ioeb,dueledilcrneilee´otirvecepscauensaoetrohonmre´eB=i ,j , k. On noteId lendomorphismeidentite´deEnsiie,oressnt´enacsD.aptrteetessmhirpmog´eotudene´ee`auneoddeseiruq´mte fa,b,cedstnere´idIdodicerelatntlamatrlabasaevimene`tBestM(a, b, c), en supposant que les coefficients (a, b, crtuo´vseadsnalrpemi`erepartie.´dnammocilituder´esrlsetstaules)oseelsntr´stre.Ile II.1. Montrerqu’il existe deux couples (a, b) tels quefa,b,bait pour seules valeurs propres 1 et1. Pr´eciserlessous-espacespropresassocie´s.Donnerlanatureg´eome´triquedefa,b,bdans les deux cas. II.2. Montrerqu’il existe deux couples (a, b) tels quefa,b,bait pour seules valeurs propres 1 et 0. Pre´ciserlessous-espacespropresassoci´es.Donnerlanaturege´ome´triquedefa,b,bdans les deux cas. ` II.3.a)Aquellesconditionsne´cessairesetsusantesunematrice3×-t-ellelr´esentee´lerspeceitnrseoca`3a matrice dans la baseBd’une rotation? 2 b) MontrerqueJetJsont des matrices de rotation deEelsdrseuglandeesatornoit.nusicoleerisecr´p, 2 2 2 c) Montrerquefa,b,cest une rotation vectorielle si et seulement sia+b+c= 1 eta+b+c= 1. En d´eduirequeab+bc+ca= 0. Pre´ciserlaxederotationainsiquelecosinusdesonanglederotationenfonctionde(a, b, c). Exercice 2 Dans ce qui suit, la fonctionfeatbdl´eenriievtd´esuresR. Onconsid`erelese´quationsdie´rentielles,defonctioninconnuefailbree´leelenlavarx 0 (E1)f(x) +xf(x) = 0
03 (E2)f(x) +xf(x) =x 1.Donnerlasolutionge´n´eralede(E1) et l’unique solutionf0telle quef0(0) = 1.
2.Donnerlasolutiong´ene´ralede(E2), et la fonctionf1solution de (E2) et telle quef1(0) = 0. Z R 2 2 xx 2 2 Dans la suite de l’exercice, on poseF(x) =eet on noteI(R) =e dx. 0 Z 3. a)Montrer queA=F(t)dt= limI(R) existe. R+0 Z Z 2 b) SoitJ(R) =F(x)F(y)dxdyavecC= [0, R]×[0, R] = [0, R] . C ExprimerJ(R) en fonction deI(R). Z Z   2 22 2 c) SoitK(R) =F(x)F(y)dxdyavecD= (x, y)R|06x,06y, x+y6R. D Montrer que pour toutRpositif, on aK(R)6J(R)6K R2 . d) Calculerla valeur deK(Reneoc´nnsosogdarlroaiaapeepps)Calcres.limulerK(Re)ueeqirude´dnet R+r π A= . 2 Z +4.Onconside`relafonctiong(xcos () =xt)F(t)dt. −∞ a) Justifierl’existence deg(x). b)Enadmettantquelonpeutde´riversouslinte´grale,de´montrerquegest solution de (E1). [On transformera 0 lexpressiontrouve´epourg(xegt´innepaontirala`)udediaitseprra.] c)Ende´duirelexpressiondeg(x) en fonction deF(x). Z x 5.Donnerlede´veloppementens´erieenti`ere(etlerayondeconvergence)deG(x) =F(t)dt. 0 Exercice 3 P(z) = (za1)(za2)(za3edede´rgnyloemoˆes)nptumolpxeseracinesc3dontlesa1,a2,a3sont distinctes. On 0noteb1,b2ˆnylemoseniopudlesracP(zv´rieed)´e,dP(z(e´mronohnaumellpaDsn.)eortp`erunrenidO;vu ,), les pointsA1,A2,A3,B1,B2sont les points d’affixes respectivesa1,a2,a3,b1,b2. 0 P(z) 1.De´composeren´ele´mentssimpleslafractionrationnelle. P(z) 3 P1 2.Ende´duireque=0.Quepeut-on´ecrirepourb2? k=1(b1ak) 3 P3.End´eduirequeλkAkB1= 0 pourdes coefficientsλkepoiquelr,etciserpe´sla`´reentB1ueirudrt`esial´ent k=1 triangle (A1, A2, A3) [On rappelle que le barycentre de trois points dont les coefficients sont strictement positifs estinte´rieurautriangled´eniparcestroispoints].Quepeut-ondiredeB2? 0 4. Calculerle coefficient dezdansP(z)`alediaeda1,a2,a3tpeo,ineqirleuendtedu´eG,cedegentr´tdearivu triangle (A1, A2, A3) est le milieu du segment [B1, B2]. 5.Onseproposeded´etermineruneconditionn´ecessaireetsusantepourquelespointsB1,B2esi´ocssaelaignuart (A1, A2, A3) soient confondus. a)Onsupposepourcommencerquelecentredugravite´Gdu triangle (A1, A2, A3euQ.enigno-tuepes)rioalt` 2 end´eduirepourlecoecientdezdansP(zadeuecsnosacan)´e?DntmorqreB1=B2si et seulement si (A1, A2, A3neceertrclecircons)crsiet´dtqeiual´trelaedecO. b)Ende´duireunepropri´et´eanaloguedanslecasg´en´eral.    6. Onse propose de montrer que les angles de vecteursA1A3, A1B1etA1B2, A1A2xuag.ose´tn a) Montrerque 3(zb1)(zb2) = (za1)(za2) + (za2)(za3) + (za3)(za1) pour tout nombre complexez. b1a1 b) Montrerque 3(a1b1)(a1b2) = (a1a2)(a1a3), puis que les arguments des nombres complexes a3a1 a2a1 etsont´egaux(a`2πpesr`.) b2a1    c)Ende´duirel´egalite´desanglesA1A3, A1B1etA1B2, A1A2´ethememlamˆrparstuerueaxdodeennoD. ´egalite´sangulaires. d) Sidans le triangle (A1, A2, A3) le pointB1ctiong´eom´etriqodnnrenucenotsureu,nncostudeunioptB2.
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