EM LYON 2007 concours Economie

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EM LYON 2007 concours Economie

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EML 2007 voie Eco
Exercice 1 Onconsid`erelamatricecarre´edordretroissuivante:   1 1 0 2 2 1 1   A= 0 2 2 1 1 0 2 2 1. Montrer,sans calcul, queAest diagonalisable. 2.De´terminerunematricediagonaleDeiruq´mteteystemenursveleibriatincePd,remi`eepre    1 ligne111etdedeuxie`meligne11 0, telles queA=PP D. 1 CalculerP. n 3.De´terminer,pourtoutnN,la matriceA.´eesrspatseneml´ 4. Soientu0, v0, w0letseuqssotilepsnulufiosisnotrosr´embreu0+v0+w0= 1.    u0un    On noteX0=v0et, pour toutnN, Xn=vnarlpaien´eednnolocecirtamal w0wn relationdere´currence:Xn=A Xn1. n a) Montrer,pour toutnN:Xn=A X0 b)End´eduire,pourtoutnN:   n 1 11 un= +u0− − 3 32    n 1 11 vn= +v0− − 3 32   n 1 11 wn= +w0− − 3 32 c)De´terminerleslimitesrespectivesu, v, wdeun,vn,wnlorsque le nombre entierntend vers l’infini. q 2 22 On note, pour toutnN:dn= (unu() +vnv() +wnw) 1 d) Montrer,pour toutnN:dnn1 2 2 e)D´eterminerunentiernaturelntel que :dn10
Exercice 2 Pre´liminaire On donne : 0,69<ln 2<0,70. Onconside`relapplication: 2 g+: ]0;[R, x7→g(x) =x+ lnx 1. Montrerqueg+est continue et strictement croissante sur ]0;deslimitesmrnireele[dte´etg en 0 et en +2.Montrerquele´quationg(x) = 0, d’inconnuex]0; +[, admet une solution et une seule. On noteαuqseuinl´eteetecndioutol.noitauq 1 3. Montrer:< α <1 2
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Partie A   1 On noteI=,erlpalpocsndie`1onetication: 2 1 1 2 f:IR, x7→f(x) =xxlnx 4 4 1. a)Montrer quefest strictement croissante surI.   1 1 b) Montrer:< f< f(1)<1. 2 2 c)End´eduire:xI, f(x)I. 2.Onconside`relasuiter´eelle(un)´deinperau0= 1 et, pour toutnN, un+1=f(un). nN a) Calculeru1 b) Montrer:nN, unI c) Montrerque la suite (unisroecd´ste)astn.e nN d) Montrerque la suite (unr´leleeitimsteeuqtelasevnocegre)α. nN
Partie B Onconside`relapplication: y F:R×RR,(x, y)7→F(x, y) =x e+ylnx + 11. a)Montrer queFest de classeCsurR×Retcalculereldse´ir´veepsraere`imerpselleitesd + Fen toutpoint (x, y) deR×R. + b) MontrerqueFadidenumire`alaetunadmombreuqituteeniopirctonlprexeunsuelq r´eelα. 2. Est-cequeF?admet un extremum local
EXERCICE 3 1.Onconside`relapplicationf:RRe´lerbrentmotruoepouenid´xpar : x f(x) =esix >0 f(x) = 0six0 Montrer quefensit´edeprobabi´til.eetsnude Onconside`reunevariableale´atoireXadmettantfurdepo´e.nsit 2.Onde´nitlavariableal´eatoirediscr`eteYva`aurlenadssN:suivanteafalnoc¸ed ?l´ev´nemene(tYenemenv´´elaleg=)0se´t(tX <1) ?pour tout nombre entier strictement positifnve´l,ene´tnem(Y=ne´enemtnst)ega´eall`ev´ (nX < n+ 1).   1 n a) Montrer,pour tout entier natureln: P(Y=n1) =e e b)Montrerquelavariableale´atoireYealerisecr´nptodenoiruq´mte´goeeloiitun+1su parame`tre. Ende´duirelesp´eranceetlavariancedeY.
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c)Recopieretcomple´terleprogrammeci-dessouspourquilsimulelavariableale´atoireY program eml2007; var y :integer; u :real; begin randomize ; ... u :=random; y :=; while... do ... ... ... writeln(’y vaut ’, y); end. 1 3. SoitU(une variable de Bernoulli telle que PU= 1) =P(U= 0) =. 2 Onsupposequelesvariablesale´atoiresUetY.sdnepetnaontind´es Soitlavariableal´eatoireT= (2U1)Y2seriotae´lrpdo,lesariabesvauitdU1 etY. Ainsi,Tsdursanevunsteariableal´eatoirdesirce`eta`avelZ, l’ensemble des entiers relatifs. a)Montrerquelavariableale´atoireTaeeunetdmcnare´pseE(T) et calculerE(T) 2 2 b)Ve´rierqueT=Y Ende´duirequelavariableal´eatoireTadmet une varianceV(T) et calculerV(T) c) Pourtout nombre entier relatifntili,(Pe´lccaerulprlaabobT=n). 4.Soitlavariableale´atoireD=XY. On noteFDtrape´reednoitiaflndioctonD. a) Justifier:t]−∞; 0[, FD(tet :) = 0t[1; +[, FD(t) = 1. b) Soittne´ve´lremirpxE;1[.[0t(enemDte´enemtneded´sveail`a)s(nXn+t), nN c)Pourtoutnombrer´eelt[0; 1[ et pour tout nombre entier naturelnbaroaprlet´libiucelc,la P (nXn+t). t 1e d) Montrer:t[0; 1[, FD(t) = 1 1e e) MontrerqueDesnetuiravelbae´laiotasienedunerinrmtee´D.e´tisneda`ere´tdeD.
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