EML 1999 mathematiques classe prepa hec (ece)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 1999MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option Øconomique)Les candidats ne doivent pas faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Exercice 12RnPour tout entier naturel n, on note : w = ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 1999
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 R2 n Pour tout entier natureln, on note :wn= cost dt. 0 1. Calculerw0etw1. 2. Montrerque la suite(un)n2Nest décroissante. 3. Montrerpour tout entier natureln:wn>0. En déduire que la suite(wn)n2Nest convergente. 4. Soitn2N. Alaide dune intégration par parties, montrer que: Z2 n2 wn+2= (n+ 1)costsint dt 0 n+ 1 En déduire :w=w. n+2n n+ 2 5. Montrerpour tout entier natureln, en utilisant2.et4.: n+ 1 0< wn6wn+16wn n+ 2
En déduire :wn+1wnquandn!+1. 6. Montrer,en utilisant4., que la suite(u)de terme généralu= (n+ 1)w west constante. n n2Nnn n+1 r En déduire :wnquandn!+1. 2n
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Exercice 2 On considère les éléments suivants deM3(R): 0 10 10 10 1 1 0 00 1 00 0 111 1 p p @ A@ A@ A@ A I= 01 0J0 1= 1K= 01 0P=2 02 0 0 10 1 01 0 01 11 1. (a)Justier (sans calcul) queJest diagonalisable, queJnest pas inversible, et que0est valeur propre deJ. 2 2 (b) CalculerJet exprimerJen fonction deIetK.
(a) Calculerles valeurs propres deJet déterminer une base deM3;1(R)formée de vecteurs propres pourJ. 1 En déduire quePP Jest une matrice diagonale que lon explicitera. 1 (b) Montrer,en utilisant1.b.et2.a.queP KPest une matrice diagonale que lon explicitera.
3 2. Soit(a; b; c)2R. Onconsidère lélément suivant deM3(R): 0 1 a b c @ A M=b a+c b c b a
(a) MontrerqueMsexprime simplement à laide deI; J; Keta; b; c. 1 (b) Endéduire queP MPest une matrice diagonale que lon explicitera.
3. Trouverune matriceXdeM3(R)telle que: 0 1 2 2 1 2 @ A X3 2= 2 1 2 2
Exercice 3 La lettrecdésigne un entier naturel non nul xé. Une urne contient initialement des boules blanches et des boules rouges, toutes indiscernables au toucher. On e¤ectue des tirages successifs dune boule dans lurne selon le protocole suivant:après chaque tirage, la boule tirée est remise dans lurne et on rajoute dans lurne, avant le tirage suivant,cboules de la couleur qui vient dêtre tirée. 1. Danscette question, on suppose que lurne contient initialementbboules blanches etrboules rouges, b,rsont des entiers naturels non nuls.
(a) Quelleest la probabilité dobtenir une boule blanche au premier tirage? (b) Quelleest la probabilité dobtenir une boule blanche au deuxième tirage? (c) Sila deuxième boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première boule tirée ait été blanche?
2. Pourtous entiers naturels non nulsn,x,y, on noteun(x; y)la probabilité dobtenir une boule blanche eme auntirage, lorsque lurne contient initialementxboules blanches etyboules rouges.
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(a) Montrer, en utilisant un système complet dévènements associé au premier tirage, que, pour tous entiers naturels non nulsn,x,y, on a: x y u(x; y) =u(x+c; y) +u(x; y+c) n+1n n x+y x+y
(b) Endéduire, par récurrence, que, pour tous entiers naturels non nulsn,x,y, on a: x un(x; y) = x+y
3. Dans cette question, on suppose que lurne contient initialement une boule blanche et une boule rouge et quec= 1tout entier naturel non nul. Poourn, on noteXnla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours desnpremiers tirages.
(a) Donnerla loi deX1. (b) Donnerla loi deX2. (c) Montrerpar récurrence, queXnsuit une loi uniforme dont on donnera lespérance et la variance. - FIN -
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