EML 1999 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 1999MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 1Notations:• n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal a` 3•M (R) est l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n a` coefficients r´eels.n  x1 . n.• On identifie les matrices unicolonnes X = d’ordre n avec les vecteurs deR . .xnn•R est muni du produit scalaire canonique not´e <.,.>.. d´efini par:   x y1 1nP   . .. .si X = et Y = , alors = x y .    k k. .k=1x yn ntEn identifiant les matrices deM (R) avec les r´eels, on a: = XY.1• I d´esigne la matrice identit´e deM (R).n n• A est la matrice deM (R) dont le terme g´en´eral a est ´egal `a 1 si|i−j| = 1 et ´egal `a 0 sinon.n n i,j   0 1 0 00 1 0 1 0 1 0   Ainsi, par exemple, A = 1 0 1 et A = .3 4  0 1 0 10 1 00 0 1 01. Montrer que A est diagonalisable.3D´eterminer une matrice inversible P de M (R) et une matrice diagonale D de M (R) telles que3 3−1A =PDP .32. Soit θ ∈]0;π[. On d´esigne par S l’ensemble des suites r´eelles (s ) telles que s = 0 et pour toutθ k k∈N 0entier naturel k, s −2cosθ s +s = 0.k+2 k+l ksinkθMontrer que, si la suite (s ) appartient `a S , alors pour tout entier naturel k: s =s .k k∈N θ k 1sinθEn d´eduire que S est un espace vectoriel ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 1999
MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee.
Proble`me1 Notations: n´da3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu Mn(Rsedelbmesecirtam)nsetles´eescarrdredorneica`oc´reenest.sl   x1  n nnesXvecteurs de= esR. On identifie les matrices unicolo.d’ordrenavec l xn n Rduroupiduntmesot´equenonineraclaiatics< .,. > ..ipard´en:    x1y1 n P    siX= etY= ,alors< X,Y>=xkyk. . .k=1 xnyn t En identifiant les matrices deM1(Rclver´eslseena,o:a)>< X,Y=XY. Inciieamrtenalsegideit´ed´edntMn(R). Anest la matrice deMn(Rlagee´´nrermtelentdo)ai,j1siset´egal`a|ij|0a`loniste1=age´n.     0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0    Ainsi, par exemple,A3= 10 1etA4= .   0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1. MontrerqueA3est diagonalisable. De´terminerunematriceinversiblePdeM3(R) et une matrice diagonaleDdeM3(R) telles que 1 A3=P DP. 2. Soitθ]0;πgnep´esi.Ond[raSθel´es(leuisssrtebmesedelnelsk)kNtelles ques0= 0 et pour tout entier naturelk,sk+22 cosθ sk+l+sk= 0. sinMontrer que, si la suite (sk)kNarappt`atienSθ, alors pour tout entier naturelk:sk=s1. sinθ Ende´duirequeSθseutenpscaveectorielr´eeldedneminois.1
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  x1   deAetX`aci´esaosun)ln(no=poerλ. 3. Soitλer´eelleeurproprnuvelan.un vecteur pr xn On notemlsele´rseddnargsulpe|x1|,|x2|, . . . ,|xn|. λx1=x2 (a) Montrer:•∀k[2,n1]], λxk=xk1+xk+1 λxn=xn1 Montrer pour tout entierkde[1,n]]:|λ| |xk|62merdeiuend´,et|λ|62. (b) Onsuppose|λ|<2. Montrer qu’il existe un uniqueθ]0[ tel queλcos= 2θ. Montrer que la suite (sk)kNdeSθrmte´edperanie´s1=x1ve´:rie •∀k[1,n]], sk=xk sn+1= 0 End´eduirequilexisteunentierpde[1,n]] tel queθ= . n+ 1   sinθp sin 2θp Pour tout entierpde[1,n]], on noteθp= ,λpcos= 2θpetXp= . n+ 1.sinp (c) Soitp[1,n]]. Montrer queλpest valeur propre deAnet queXpteurpropestunvece´,saericos a`λp. (d) Montrerque{λ12, . . . ,λn}est l’ensemble de toutes les valeurs propres deAnet que (X1,X2, . . . ,Xn) n est une base deR. pqπ 2 4. SoitUn, la matrice deMn(R)dtereem´gnee´arlup,q, (= sinp,q)[1,n]] . n+ 1 5. MontrerqueUntsnieeteretd´ibleversirtaecenimmalrDndeMn(R) telle que: 1 Dn=UnAnUn 6. 2t t (a) Montrerpour tout couple (p,q) de[1,n]] :λpXpXq=λqXpXq. 2 End´eduirequelabase(X1,X2, . . . ,Xn) est orthogonale et que, pour tout couple (p,q) de[1,n]] n P tel quep6=qsin, on a:psinq= 0. k=0 n P (b) Montrer,pour toutpde[1,n2]], cosp= 0. k=0 n Pn+ 1 2 Ende´duireque,pourtoutentierpde[1,n]], on a:sinp= . 2 k=1 n+ 12 2 eU=A=U D U. (c)End´eduirnIn, puisn nn n 2n+ 1 Probl`eme2 ( ln(1t) sit]0,1[ Onconsid`erelapplicationf: [0,1[−→R´eeloutrourtie,pne´dtde [0,1[, par:f(t) = t 1 sit= 0 1. (a) Montrerque f est continue sur [0,1[. 2
1 (b) Montrerquefest de classeCsur ]0,1[ et calculerf(t´etrourtp)uoeltde ]0,1[ 1 01 (c) Etablirquef(tlorsque) tend versttend vers 0, et quefest de classeCsur [0,1[. 2 t (d)Montrer,pourtoutr´eeltde [0,1[: ln(1t) +0. 1t (e) Dresserle tableau de variation defe´rpesicalarimiltedeOn.f(t) lorsquettend vers 1. (f)Tracerlalluredelacourberepre´sentativedefaerapddnudeeiees´oicr´lvsedea.´et(Onnfet on admettra quefest convexe.) 2. x R (a)Montrerque,pourtoutr´eelxde [0,rale1,]lint´egf(t)dtexiste. (On distinguera les cas 0 x[0,1[ etx= 1.) x R On noteg: [0,1]Rlaticalippnied´onotruop,elee´rtuxde [0,1], parg(x) =f(t)dt. 0 20 (b) Montrerquegest continue sur [0,1], de classeCsur [0,1[ et calculerg(xou)plerte´truoxde [0,1[. g(x)g(1) (c) Etablirque tendvers +lorsquextend vers 1. x1 2 (d) Dresserle tableau de variation deguuqarttruelavenmeadOn.och´appreedegrpa`01(1)e`s est :1,65. (e) Etablirquegest convexe sur [0,1[. (f)Tracerlalluredelacourberepre´sentativedegxpauntoisedset-imegnasetn.Onpr´eciseral d’abscisses 0 et 1. 3. P n (a)Justierque,pourtoutre´eltde [0,ieers´laiqerm´nuu,e[1tconverge. n0 Quelle est sa somme? On note, pour tout entier natureln,Rn: [0,1[Reiape´noidncitaappllr: +X k t[0,1[, Rn(t) =t k=n+1 n+1 t (b) Montrer,pour tout entier naturelntu´reeltoettde [0,1[:Rn(triude´dn,euqe)=ete 1t pour tout entier natureln,Rnest continue sur [0,1[. (c) Etablir,pour tout entier naturelneuotttr´eelxde [0,1[: x x ZnZ k+1 X 1x dt= +Rn(t)dt 1t k+ 1 k=0 0 0 (d) Montrer,pour tout entier naturelne´leuortettxde [0,1[ : x Z x 06Rn(t)dt6 (n+ 2)(1x) 0
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k+1 Px (e)De´montrerque,pourtoutr´eelxde [0,1ers´la[,re´muneieuqienverstcoeeqtegtneu k+ 1 k0 k +Px f(x) =. k+ 1 k=0 4. n Px (a)Montrerque,pourtoutr´eelxde [0,equecostrevntneg.e1]l,sae´irnemue´ir 2 n1n On note, pour tout entier natureln,ρ: [0,1[Rplaplndioaticapeine´:r n +k X t t[0,1[, ρ(t) = n k+ 1 k=n+1 (b) Montrerque, pour tout entier natureln,ρ, est continue sur [0,1[. n (c) Etablir,pour tout entier naturelnel´etrouttexde [0,1[: x nZ k+1 X x g(x) =+ρ(t)dt n 2 (k+ 1) k=0 0 (d)D´emontrer.pourtoutentiernaturelnee´rletuttotde [0,1[: 1 06ρ(t)6 n (n+ 2)(1t) (e)End´eduireque,pourtoutentiernaturelne´ertluottexde [0,1[: x Z ln(1x) 06ρ(t)dt6 n n+ 2 0 n +Px (f)Conclureque,pourtoutr´eelxde [0,1[ :g(x.) = 2 n=1n
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