EML 2000 mathematiques classe prepa hec (ece)

Publié par

a31X02P=aM0a1:aa:XaXa2J=1MaaaXaM=aJ;1X2J1:0ha;RJ30X1R03A::fPh:=MXD=1PJDPR1Aa20=1M0a2:@a=>M2::Ra3X=X@22=0M2a1M1af:aEcole Supe´rieuredeCommercedeLyonConcours d’entree´ 2000Mathematiques´1` ere epreuv´ e (option economique)´Mardi 2 mai 2000 de 8 heures a1` 2heuresExercice 1 :On consider` e une matrice carre´e d’ordre 3 :et l’endomorphisme de de matrice dans la base canonique deOn concide`re, pour tout nombre reel´ la matrice carree´ re´elle d’ordre 3 :1. (a) Det´ erminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def:(b) Montrer que est diagonalisable. De´terminer une matrice re´elle diagonale d’ordre trois et une matricer´eelle inversible d’ordre trois telles quePDP(c) En de´duire que, pour tout nombre reel´ , il existe une matrice re´elle diagonale d’ordre trois, que l’oncalculera, telle quePD(d) Quel est l’ensemble des nombres reel´ s tels que soit inversible ?2. On se propose, dans cette question, de de´terminer l’ensemble des nombres reel´ s tels qu’il existe une matricecarree´ re´elle d’ordre trois ver´ ifiant(a) Soient un nombre reel´ et une matrice carree´ re´elle d’ordre trois tels quei. Montrer que commute avec puis que commute avecii. On note l’endomorphisme de de matrice dans la base canonique de D´ eduire de la questionprec´ ed´ ente que tout vecteur propre de est vecteur propre deiii. Etablir qu’il existe une ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 372
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
Ecole Sup´
e
r
i
e
u
r
e
d
e
C
o
m
m
e
r
c
e
d
e
L
y
o
n
Concours d’entr´ee 2000
Math´ematiques
1`ere ´epreuve (option ´economique)
Mardi 2 mai 2000 de 8 heures `
a
1
2
h
e
u
r
e
s
Exercice 1 :
On consid`ere une matrice carr´ee d’ordre 3 :
et l’endomorphisme
de
de matrice
dans la base canonique de
On concid`ere, pour tout nombre r´eel
la matrice carr´ee r´eelle d’ordre 3 :
1.
(a) D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
(b) Montrer que
est diagonalisable. D´eterminer une matrice r´eelle diagonale
d’ordre trois et une matrice
r´eelle inversible
d’ordre trois telles que
(c) En d´eduire que, pour tout nombre r´eel
, il existe une matrice r´eelle diagonale
d’ordre trois, que l’on
calculera, telle que
(d) Quel est l’ensemble des nombres r´eels
tels que
soit inversible ?
2. On se propose, dans cette question, de d´eterminer l’ensemble des nombres r´eels
tels qu’il existe une matrice
carr´ee r´eelle d’ordre trois v´erifiant
(a) Soient
un nombre r´eel et
une matrice carr´ee r´eelle d’ordre trois tels que
i. Montrer que
commute avec
puis que
commute avec
ii. On note
l’endomorphisme de
de matrice
dans la base canonique de
D´eduire de la question
pr´ec´edente que tout vecteur propre de
est vecteur propre de
iii. Etablir qu’il existe une matrice r´eelle diagonale
d’ordre trois telle que
et montrer :
iv. En d´eduire :
(b) R´eciproquement, montrer que, pour tout nombre r´eel
sup´erieur ou ´egal `a 2, il existe une matrice carr´ee r´eelle
d’ordre trois telle que
(c) Conclure.
1
Exercice 2 :
On consid`ere la fonction
d´efinie, pour tout
de
,
p
a
r
:
si
si
1.
(a) Montrer que
est continue sur
(b) Montrer que
est de classe
sur
et sur
Pour tout r´eel
de
, calculer
(c) Montrer que
tend vers
lorsque
tend vers
.
(d) En d´eduire que
est de classe
sur
2. Montrer :
En d´eduire les variations de
.
O
n
p
r
´ecisera les limites de
en
et
3. Montrer que, pour tout
l’int´egrale
existe.
4. On consid`ere la fonction
d´efinie, pour tout
de
,
p
a
r
:
(a) Montrer que
est d´erivable sur
et que
est croissante.
(b) Montrer que
(c) En d´eduire que
tend vers
quand
tend vers
(d) Montrer que l’int´egrale
est convergente.
En d´eduire que la fonction
admet une limite finie de
On ne cherchera pas `a calculer cette limite.
Exercice 3 :
Soit
un entier strictement positif.
On dispose d’un jeu usuel de
cartes (
ou
) qui contient donc deux rois rouges, et on envisage deux jeux
d’argent r´egis par les protocoles suivants.
I Premier protocole
Les cartes du jeu sont align´es sur une table de fac
¸on al´etoire. Le joueur d´ecouvre les cartes, de gauche `a droite jusqu’`a
obtenir le premier roi rouge.
On note
la variable al´eatoire ´egale au rang d’apparition du premier roi rouge et
son esp´erance.
1. Montrer :
2. Montrer :
On rappelle que pour tout entier naturel
,
o
n
a
:
2
3. Le joueur paie un franc chaque fois qu’il d´ecouvre une carte et gagne
francs losqu’il obtient le premier roi rouge.
On note
la variable al´eatoire ´egale au gain alg´ebrique du joueur.
Ainsi, si le premier roi rouge appara
ˆ
it `
a
l
a
carte d´ecouverte,
est ´egale `a
D´eterminer l’esp´erance de la variable al´eatoire
II Deuxi`eme protocole
Les
cartes du mˆeme jeu sont align´es sur une table de fac
¸on al´eatoire, mais cette fois-ci, le joueur peut d´ecouvrir au
maximum
cartes.
Le joueur paie un franc chaque fois qu’il d´ecouvre une carte et gagne
francs losqu’il obtient le premier roi rouge.
On note
la variable al´eatoire ´egale au gain alg´ebrique du joueur.
Ainsi, si le premier roi rouge appara
ˆ
it `
a
l
a
carte d´ecouverte
,
est ´egale `a
et si le joueur n’obtient
pas de roi rouge `a l’issue des
premiers tirages, alors
est ´egale `a
1. Pour tout entier
d´eterminer
2. V´erifier :
3. Montrer :
III Comparaison des deux protocoles
On suppose le jeu constitu´e de 32 cartes (
).
D´eterminer, selon les valeurs de
, le protocole le plus favorable au joueur. Justifier la r´eponse.
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.