EML 2000 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2000MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 1Notations:– n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal a` 3.– M (R) est l’ensemble des matrices carr´ees d’ordren `a coefficients r´eels.I d´esigne la matrice identit´en ntde M (R). La transpos´ee d’une matrice M est not´ee M.nn– R est muni du produit scalaire canonique not´e < , > d´efini par: si x = (x ,x ,...,x ) et y =1 2 nnP(y ,y ,...,y ) alors, = x y .1 2 n k kk=1    x y1 1   . .. .En notant les matrices unicolonnes X = et Y = et en confondant les matrices   . .x yn ntd’ordre 1 et les scalaires, on a alors= XY. La norme associ´ee `a ce produit scalaire est not´eek.k.n– B = (e ,e ,...,e ) d´esigne la base canonique deR .1 2 nnOn rappelle que la matrice de passage P d’une base orthonormale deR a` une autre base orthonormalen t −1deR v´erifie P =P .Les parties I et II sont ind´ependantes.Partie I.1. On consid`ere les matrices suivantes de M (R):3√ √   5 2 2 3 1 2√ √1   √S = 2 5 2 , P = − 3 1 2√62 2 5 0 −2 2(a) Justifier que S est diagonalisable dans M (R).3t(b) Montrer qu’il existe une matrice diagonale D de M (R) telle que S =PD P.3 2 1 0 2. On consid`ere la matrice M = 0 2 1 de M (R).31 0 23(a) V´erifier ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2000
MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee.
Proble`me1 Notations: n´d.a3´preeiruuoe´ag`lesigneunentiersu Mn(Redelbmesecirtamsenlst)er´eescarrdresdoneoc`carse´eitn.sleInntde´eittrmaeiicgisealen´d t deMn(Ree´tontseMenematricos´eeduaLrtnaps.)M. n Ruiodprdunimustet´euenonoqicenaalristac< , >seinipard:´x= (x1,x2,...,xn) et y = n P (y1,y2,...,yn) alors,< x,y >=xkyk. k=1    x1y1    notant les matrices unicolonnesX= eten confondant les matrices En.etY=.xnyn t d’ordre 1 et les scalaires, on a alors< x,y >=XY.eetsee´tonLaco´ieea`onmraesstscalairceprodui k.k. n B= (e1,e2,...,enedeuqinoelgn)sdi´eanecasabR. n On rappelle que la matrice de passagePd’une base orthonormale deRnua`tuaeaberseorthonormale n t1 deR´vreieP=P. LespartiesIetIIsontind´ependantes.
Partie I. 1.Onconsid`erelesmatricessuivantesdeM3(R) :  √ √5 2 23 12 1√ √    S5 2= 2, P=√ −3 12 6 2 2 502 2 (a) JustifierqueSest diagonalisable dansM3(R). t (b) Montrerqu’il existe une matrice diagonaleDdeM3(R) telle queS=P DP.   2 1 0   2.Onconside`relamatriceM=021deM3(R). 1 0 2 3 (a)V´erierque(M2I3) =I3. (b)Mest-elle diagonalisable dansM3(R)? t (c) Calculerle produitM M. 1
Partie II. n Soit A une matrice deMn(R). On note f l’endomorphisme deRassoci´e`alamatirecAaalt`rletavimene n t baseBetgl’endomorphisme deRci´eassomatr`alacieAela`tsabarlemenetaviB. 2 n 1. Montrer,pour toutxet toutydeR:< g(y),x >=< y,f(x)>puis<(gf)(x),x >=kf(x)k. 2. Montrerque l’endomorphismegfique.´etrtsymes 3. Montrerquegfest diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles. 0 00 0n 4. Justifierl’existence d’une base orthonormaleB= (e ,e ,...,e) deReveceesditu´onstcserporpsruet 1 2n degf. 0 On noteQla matrice de passage de la baseBbase`alaB. 5. Montrerl’existence dennlusoeuefssiptoir´lsλ1,λ2,...,λnemensairtinctdisleqsstt)eualn(sece´nno   µ0∙ ∙ ∙0 1 . . 0µ.. 2t2t matrice diagonale Δ =deMn(R:eire´)vAA=QΔQ. . . . ..0. . 0∙ ∙ ∙0µ n 0 00 6. Montrerque la famille (f(e),f(e),...,f(e)) est une famille orthogonale et que pour tout entierjde 1 2n 0 {1,2,...,n},f(e) =λj. j 7. Danscette question, on suppose queAest inversible. (a)Ve´rierquelesnombresr´eelsλ12,...,λnsont tous non nuls.   1 11 n (b) Montrerque la familleC=f(e1), f(e2),..., f(enune base orthonormale de) estR. µ µµ 1 2n t (c) SoitRla matrice de passage de la baseBesabala`C. Montrer queA=RΔQ.
Partie III. D´eterminerdeuxmatricesorthogonalesQetRd’ordre 3 et une matrice diagonale Δ d’ordre 3 telles que: t M=RΔQou`Mnadeesseinec´dtairltmaI.2.
Proble`me2 Danstoutceproble`me,aseutrne´eltelque0< a <1.
Calculdunesommeetduneint´egrale. n P × 1. Pourtout n deNet toutxde [0,+], on note:Cn(x) =cos(kx). k=1 n P ×ikx (a) Montrer,pour toutndeNet toutxde [0,+]: 1+ 2Cn(x) =e. k=n 2n+1 n P1z kn (b) Etablir,pour tout nombre complexeztel quez6:= 1z=z. k=n1z  1 sinn+x 1 2 × (c)Ende´duire,pourtoutndeNet toutxde ]0,++] :Cn(x) =  x 2 2 sin 2  1 sin n+x π R 2 × 2. SoitndansNtronquerieeJla´legnrtM.n= dxexiste et calculer sa valeur. x 2 sin 0 2 0 six= 0 cos(ax)1 On noteω: [0,+]Rlplapr:ne´apeitacidnoiω(x) = six]0,+] x sin( ) 2 2
10 3. Montrerqueωest de classeCsur [0,+] et calculerω(0).  π R1 × 4. Onnote, pour toutndeN:In=ϕ(x) sinn+x dx. 02 Montrer,graˆce`auneint´egrationparparties,queIntend vers 0 quand l’entierntend vers l’infini.
Calculdelasommedunese´rie. π R × On note, pour nN:un= cos(ax) cos(nx)dx. 0 n Psin() 1 × 1. Montrer,pour toutnN:uk=+In+Jn. k=12a2 P 2.End´eduirequelase´rieunatsdeleerisilltsu´esrno(emmostuarruopetcarge,ersalculnoevcI.2.et n>1 I.4.). × 3. Calculer,pour toutnN,unen fonction deaet den. n1 +P2(1)a π1 4. Etablir: =. n=1na sin()a Calculduneinte´grale. Dans cette partie,αuqe´digesunneeer´elltα >1. +Rdt 1.Justierlexistencedelinte´grale. α 1 +t 0 +1 +RdtRdtRdt On note:F(α) =,G(α) =,H(α) =. α αα 01 +t01 +t11 +t 2. (n+1)α n 1Pt k kαn+1 (a)Montrer,pourtoutr´eeltde [0,1] et toutndeN: =(1)t+ (1) . α α 1 +tk=01 +t 1 (n+1)α Rt (b) Montrerquedttend vers 0 lorsque l’entierntend vers l’infini. α 1 +t 0 k k +P(1)P(1) (c)Ende´duirequelas´erieconvergeetque:G(α) = 1 +1 +k>0k=0 3. 1α (a)Enutilisantlechangementdevariablede´niparu=t, montrer:   1α H(α) =G , α1α1 etend´eduire +n1 X (1) H(α) = 1 n=1 n1 +P2(1) (b) Etablir:F(α) = 1 +. n=11 π α 4.Enutilisantler´esultatdeIIatlb,.e´lamerinent:.4F(α) = . π sin α
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