EML 2001 mathematiques classe prepa hec (ece)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2001MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option Øconomique)Les candidats ne doivent pas faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Exercice 1On considŁre la matrice carrØe rØelle d’ordre quatre :0 11 0 0 1B C1 0 0 1B CA =@ A0 1 0 10 0 1 14 4et l’endomorphisme f deR dont la matrice dans la base canoniqueB = (e ;e ;e ;e ) deR est A.1 2 3 41. Montrer que A n’est pas inversible. En dØduire que 0 est valeur propre de A.2 3 42. (a) Calculer A , A , A .(b) Etablir que 0 est la seule valeur propre de f.(c) DØterminer la dimension du noyau de f.(d) Est-ce que f est diagonalisable ?3. On note " =e , " =f(" );" =f(" );" =f(" ), etC = (" ;" ;" ;" ).1 1 2 1 3 2 4 3 1 2 3 44(a) Montrer queC est une base deR .4(b) DØterminer la matrice N de f relativement à la baseC deR .4 1 24. Existe-t-il un automorphisme g de l’espace vectorielR tel que gfg =f ?Exercice 2On considŁre l’application f : [0;+1[! R, dØ…nie, pour tout x de [0;+1[, par :( xsi x> 0xf(x) = e 11 si x = 01. (a) Montrer que f est continue sur [0;+1[.1/31 0(b) Montrer que f est de classe C sur ]0;+1[. Pour tout x2]0;+1[, calculer f (x).10(c) Montrer que f (x) tend vers lorsque x tend vers 0.21(d) En dØduire que f est C sur [0;+1[.xe2 00 x2. (a) Montrer que f est de classe C sur ]0;+1[ et que: 8x2]0;+1[ f (x) = (xex 3(e 1)x2e +x+2)(b) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 2001
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 On considère la matrice carrée réelle dordre quatre : 0 1 1 0 01 1 0 01 BC A= @ A 0 1 01 0 0 11 4 4 et lendomorphismefdeRdont la matrice dans la base canoniqueB= (e1; e2; e3; e4)deRestA. 1.Montrer queAnest pas inversible.En déduire que0est valeur propre deA. 2 3 4 2.(a) CalculerA,A,A. (b) Etablirque0est la seule valeur propre def. (c) Déterminerla dimension du noyau def. (d) Est-cequefest diagonalisable ? 3.On note"1=e1,"2=f("1); "3=f("2); "4=f("3), etC= ("1; "2; "3; "4). 4 (a) MontrerqueCest une base deR. 4 (b) Déterminerla matriceNdefrelativement à la baseCdeR. 41 2 4.Existe-t-il un automorphismegde lespace vectorielRtel quegfg=f?
Exercice 2 On considère lapplicationf: [0;+1[!R, dénie, pour toutxde[0; +1[, par : ( x six >0 x f(x) =e1 1six= 0 1. (a)Montrer quefest continue sur[0; +1[.
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10 (b) Montrerquefest de classeCsur]0; +1[tout. Pourx2]0;+1[, calculerf(x). 1 0 (c) Montrerquef(x)tend verslorsquextend vers0. 2 1 (d) Endéduire quefestCsur[0; +1[. x e 200x 2. (a)Montrer quefest de classeCsur]0; +1[et que:8x2]0; +1[f(x() =xex3 (e1) x 2e+x+ 2) (b) Etudierles variations de la fonctiong+: [0;1[!R, dénie, pour toutxde[0; +1[, par: x x g(x) =xe2e+x+ 2 00 En déduire :8x2]0; +1[; f(x)>0. (c) Endéduire le sens de variation defprécisera la limite de. Onfen+1. Dresserle tableau de variation def. (d) Tracerlallure de la courbe représentative def. 3.On considère la suite(un)n>0dénie paru0= 0et :8n2N; un+1=f(un). (a) Montrer: 1 0 8x2[0; +1[;jf(x)j6et06f(x)61 2 (b) Résoudreléquationf(x) =x, dinconnuex2]0; +1[. (c) Montrer: 1 8n2Njun+1ln 2j6junln 2j 2 (d) Etablirque la suite(un)n>0converge et déterminer sa limite.
Exercice 3 1.Pour tout entier natureln, on considère la fonctionfn:R!Rdénie par : 8 t n <e t sit >0 8t2R; fn(t) = n! : 0sit60
2 (a) Soitn2Nque. Montrerlimt fn(t) = 0. t!+1 +1 R En déduire que lintégralefn(t)dtest convergente. 0 xx nx R R e x (b) Montrer:8n2N;8x2[0; +1[; fn(t)dt=+fn1(t)dt. n! 0 0 x R (c) Endéduire :8n2N; fn(t)dt= 1 0 (d) Montrer que, pour tout entier natureln, la fonctionfnest la densité de probabilité dune variable aléatoire.
1. Pourtout entier natureln, on dénit la variable aléatoireXnadmettantfnpour densité de proba-bilité.
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(a) Montrerque, pour tout entier natureln, lespéranceE(Xn)et la varianceV(Xn)vérient: E(Xn) =n+ 1V(Xn) =n+ 1 2 (b) Danscette question, on suppose quen= 4. Ondonne les valeurs approchées à10suivantes:
4 Z f4(t)dt'0;37 0
6 Z f4(t)dt'0;71 0
8 Z f4(t)dt'0;90 0
Tracer lallure de la courbe représentative de la fonction de répartition deX4. Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilitéP(X4>4)et une valeur décimale approchée de la probabilitéP(4< X468).
3.Pour tout réelt >0, on dénit la variable aléatoireYtégale au nombre de voitures arrivant à un péage dautoroute de linstant0à linstantt. On suppose que la variable aléatoireYtsuit une loi de Poisson de paramètret.
(a) Rappeler,pour tout réelt >0, les valeurs de lespérance et de la variance deYt. Pour tout entier naturelnnon nul, on dénit la variable aléatoire réelleZn, prenant ses valeurs +ieme dansR, égale à linstant darrivée de lanvoiture au péage à partir de linstant0. (b) Soientt2]0; +1[etn2N. Justier légalité de lévénement(Zn6t)et de lévénement(Yt>n) (c) Endéduire, pour tout entier naturelnnon nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelleZn. (d) Montrerque, pour tout entier naturelnnon nul, la variable aléatoireZnadmetfn1comme densité de probabilité.
- FIN -
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