EML 2001 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2001MATHEMATIQUES1`ere ´epreuve (option scientifique)Les candidats ne doivent pas faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Probl`eme 11 1On note I = [− ; ].2 2Le but du probl`eme est la construction d’une application f : I 7→R, continue et telle que:xZ1 2∀x∈ I, f(x) = 1+ (f(t)+f(t ))dt20On consid`ere les applications f : I 7→R, pour n ∈N, d´efinies par f = 1 (application constante ´egale `an 01) et:xZ1 2∀n∈N,∀x∈ I, f (x) = 1+ (f (t)+f (t ))dtn+1 n n201.(a) Montrer que, pour tout n∈N, f est une application polynomiale.n2 3x x(b) V´erifier que, pour tout x∈ I, f (x) = 1+x et f (x) = 1+x+ + , et calculer f (x).1 2 34 6×2. Pour tout n∈N , la fonction continue |f −f | admet une borne sup´erieure sur I.n n−1On note D = sup|f (x)−f (x)|.n n n−1x∈I(a) Calculer D et D .1 21×(b) Montrer: ∀n∈N ,∀x∈ I, |f (x)−f (x)|≤ D .n+1 n n21 1On pourra ´etudier s´epar´ement les cas x∈ [0; ] et x∈ [− ;0].2 21×(c) En d´eduire: ∀n∈N , D ≤ .n n2P´(d) Etablir la convergence de la s´erie D .nn≥1PEn d´eduire que, pour tout x fix´e dans I, la s´erie (f (x)−f (x)) converge.n n−1n≥1´3. Etablir que, pour tout x fix´e dans I, la suite (f (x)) converge.n n∈NOn d´efinit ainsi une application f : I 7→R par: ∀x∈ I,f(x) = lim f (x).nn→+∞14. On note, pour tout n∈N, M = sup|f (x)|.n nx∈I1×(a) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Programme ESC d’E.M.LYON CONCOURS D’ENTREE 2001
MATHEMATIQUES 1e`ree´preuve(optionscientique)
Lescandidatsnedoiventpasfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee.
Proble`me1 1 1 On noteI= [; ]. 2 2 Lebutduproble`meestlaconstructionduneapplicationf:I7→R, continue et telle que: x Z 1 2 xI, f(x) = 1 +(f(t) +f(t))dt 2 0 Onconside`relesapplicationsfn:I7→R, pournNd´eniesrap,f0ga´eteanstonnciotacilppa(1=ela` 1) et: x Z 1 2 nN,xI, fn+1(x) = 1 +(fn(t) +fn(t))dt 2 0 1. (a) Montrerque, pour toutnN,fnest une application polynomiale. 2 3 x x (b)V´erierque,pourtoutxI, f1(x) = 1 +xetf2(x) = 1 +x+ +, et calculerf3(x). 4 6 × 2. PourtoutnN, la fonction continue|fnfn1|aroenus´pmdtenubeurerieuresI. On noteDn= sup|fn(x)fn1(x)|. xI (a) CalculerD1etD2. 1 × (b) Montrer:nN,xI,|fn+1(x)fn(x)| ≤Dn. 2 1 1 Onpourra´etudierse´par´ementlescasx[0; ]etx[; 0]. 2 2 1 × (c)Ende´duire:nN, Dn. n 2 P ´ (d)Etablirlaconvergencedelase´rieDn. n1 P End´eduireque,pourtoutx´xnadesIeri(,l´easfn(x)fn1(x)) converge. n1 ´ 3. Etablirque, pour toutxxe´adsnI, la suite (fn(x))nNconverge. Onde´nitainsiuneapplicationf:I7→Rpar:xI,f(xlim) =fn(x). n+1
4. Onnote, pour toutnN, Mn= sup|fn(x)|. xI 1 × (a) Montrer:nN, Mn1 +Mn1. 2 (b) Montrer:nN, Mn2. ´ 2 (c) Etablir:nN,(x,y)I ,|fn(x)fn(y)| ≤2|xy|. 5. ´ 2 (a) Etablir:(x,y)I ,|f(x)f(y)| ≤2|xy|. (b)Ende´duirequefest continue surI. 6.   1 1 × × ´ (a) Etablir:xI,nN,pN,|fn+p(x)fn(x)| ≤1. n p 2 2 1 × (b)Ende´duire:xI,nN|f(x)fn(x)| ≤. n 2 x 1R 2 7.End´eduire:xI, f(x() = 1 +f(t) +f(t))dt. 20 Probl`eme2 Rappel: n Pour tout entiernuaeq´1,lontiz= 1, d’inconnuezant`rtenappaaC, admet exactementnracines complexes distinctes qui sont 2π 2iθ i(n1)θ 1, . . . ,e, e, eavecθ= n D´enitions: SoitEun espace vectoriel surC. – OnnoteidEl’application identique deE. 0 – Pourtout endomorphismefdeE, on notef=idE, et pour tout entier naturelk,fk+1=fkf. × – SoitpN. On dit qu’un endomorphismefdeEest cyclique d’ordrepnet´lmenue´sietilexsx0de Eiuavtnsessnoitidnocsiortestlanierv´ p f(x0) =x0, p1 ?la famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0)e)g´st´eencidearrteE, p1 ?la famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0`auxuxdeenemdets.stsidtcniu´itstonl´´edeectse)) p1 La famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0clcyuneel´peaprs))seatoledef.
Etude d’un exemple Dans cette partie,Eest un espace vectoriel surCde dimension 3, etB= (e1,e2,e3) est une base deE. On conside`relendomorphismefdeEdotrmalantsscociaeadsn´ieeselabaBest:   1 2 2   A= 1 1 2 223 2 1.Ve´rierque(e1,f(e1),f(e1)) est une base deErete´dteaosice´`eatriceasminerlamferalitmeve`ant cette base. 2 3 2. Montrerquefest cyclique d’ordre 4 et que (e1,f(e1),f(e1),f(e1)) est un cycle def. 4 3. Montrerquef=idE. 4. Montrerquefetd´mierntnaebungaidlanobasineeleedeasstE´etutinscoesderporpsruetcevedef. 2
Casge´n´eral Dans cette partie,Eest un espace vectoriel surCde dimensionne,smhiconsetonernudie`omprneodf deEcyclique d’ordrep. p1 Soit (x0,f(x0), . . . ,f(x0)) un cycle def. 1. Montrer:pn. p 2. Montrerquef=idEeuqeriude´dnE.fest bijective. k1 3. Onnotemle plus grand des entiers naturelsktels que la famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0)) est libre. m1 (a) Montrerquefm(x0´nilnosisederiaees)nabiomtcmvecteursx0,f(x0), . . . ,f(x0) k (b)Montrer,parre´currence,quepourtoutentiernaturelkspue´irueor´ugelaa`m, le vecteurf(x0) m1 estcombinaisonline´airedesmvecteursx0,f(x0), . . . ,f(x0) n1 (c)Ende´duirequem=net que la famille (x0,f(x0), . . . ,f(x0)) est une base deE. 4. Onnotea0,a1, . . . ,an1lesnnombres complexes tels que: n2n1 f(x0) =a0x0+a1f(x0) +a2f(x0) +∙ ∙ ∙+an1f(x0) 2n1 (a)Onconside`relendomorphismegdeEed´panirg=a0idE+a1f+a2f+∙ ∙ ∙+an1f. k n+k Montrer:kN, g(f(x0)) =f(x0). n2n1 End´eduire:f=a0idE+a1f+a2f+∙ ∙ ∙+an1f. n1 (b)De´terminerlamatriceassoci´ee`afrelativeabes(emtna`alx0,f(x0), . . . ,f(x0sedediala`)) coefficientsa0,a1, . . . ,an1. (c) Montrer:λC,rg(fλidE)n1. End´eduirequelessous-espacespropresdefsont de dimension 1.
n1 5. Onsuppose dans cette question quefest cyclique d’ordren( et dim(E) =n). Soit (x0,f(x0), . . . ,f(x0)) un cycle def.
n (a) Montrerque si un nombre complexeλest valeur propre def, alorsλ= 1. n1 (b)De´terminerlamatriceassocie´e`afsa(elabaatelrt`enemivx0,f(x0), . . . ,f(x0)). (c) Montrerqueftseagdialonabisenle´dtereimantnnubeasedeEprrospurteecevedseconstitu´e def.
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