EML 2002 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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E.M.Lyon 2002. Premi`ere ´epreuve, option scientifique.PROBLEME 1On note, pour tout entier p≥ 1 :Z p+11 1u = − dtpp tpet, pour tout entier n≥ 1 :nXa = u =u +···+un p 1 np=1´Partie I : Etude de la suite (a )n n≥11 11) Montrer, pour tout entier p≥ 1 : 0≤u ≤ − .pp p+12) En d´eduire que la suite (a ) est croissante et converge vers un r´eel, not´e γ, tel quen n≥10≤γ ≤ 1.Partie II : Expression int´egrale du r´eel γ.x´1)a)Etablir, pour tout r´eel x : 1+x≤ e .b)En d´eduire, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel t tel que 0≤t≤n : t tn nt −t1+ ≤ e et 1− ≤ en n2 t tn n−t −tpuis : 1− e ≤ 1− ≤ e .2n n´2)a)Etablir, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel x de [0;1] :n(1−x) +nx−1≥ 0b)En utilisant 1.b. et 2.a., montrer, pour tout entier n≥ 1 et tout r´eel t tel que 0≤t≤n :2t n t−t −t0≤ e − 1− ≤ en n3)a)On note, pour tout entier n≥ 1 :Z n 1 t n−tI = e − 1− dt.nt n0Justifier l’existence de I .n´b)Etablir que I tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.n´4)a)Etablir, pour tout entier n≥ 1 :Zn−1 nX t k1− dt =n a +ln(n+1)nn0k=0On note, pour tout entier n≥ 1 : Z n 1 t nJ = 1− 1− dt.nt n0Justifier l’existence de J , et montrer, pour tout entier n≥ 1 :nJ =a +ln(n+1).n nZ Z1 +∞−t −t1−e e5) On note : U = dt et V = dt.t t0 1a) Justifier l’existence de U et de V.b)D´emontrer : γ =U −V.PROBLEME 2Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, dont le produit scalaire est not´e h, i.L’objectif du probl`eme est d’´etudier les endomorphismes ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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E.M.Lyon2002.Premi`ere´epreuve,optionscientique. PROBLEME 1 On note, pour tout entierp1 : Z p+1 1 1 up=dt p t p et, pour tout entiern1 : n X an=up=u1+∙ ∙ ∙+un p=1 ´ Partie I :Etude de la suite(an)n1 1 1 1)Montrer, pour tout entierp01 :up≤ −. p p+ 1 2)(etiusaleuireq´eduEndan)n1n,lee´toveonevrgsuer´enrtceentsaisrotcesγ, tel que 0γ1. PartieII:Expressioninte´graledur´eelγ. x ´ 1)a)rilbatEuotruop,eltr´ex+: 1xe . b)e´udEdnopruri,eretuotitnentte1trouel´ettel que 0tn: tn n t tt 1 +1e et− ≤e n n 2    tntn tt puis :1e1− ≤e . 2 n n ´ 2)a)Etablir, pour tout entiernutr´eeetlto1x1] :de [0; n (1x) +nx10 b)En utilisant1.b.et2.a., montrer, pour tout entiern´reel1ettoutttel que 0tn: 2   tnt tt 0e1− ≤e n n 3)a)On note, pour tout entiern1 : Z n   1tn t In= e1dt. t n 0 Justifier l’existence deIn. ´ b)Etablir queIntend vers 0 lorsquentend vers l’infini. ´ 4)a)Etablir, pour tout entiern1 : n1Z n X tk  1dt=n an+ ln(n+ 1) n 0 k=0 On note, pour tout entiern1 : Z n   1tn Jn= 11dt. t n 0 Justifier l’existence deJn, et montrer, pour tout entiern1 : Jn=an+ ln(n+ 1). Z Z 1t+∞ −t 1e e 5)On note :U= dtetV= dt. t t 0 1 a)Justifier l’existence deUet deV. b)De´omtnrer:γ=UV.
PROBLEME 2
SoitEun espace vectoriel euclidien de dimensionntnel,odti´reeecstanloauitsprodh,i. Lobjectifduproble`meestde´tudierlesendomorphismesudeEtels que : xE,hu(x), xi= 0 Lesendomorphismesv´eriantcetteproprie´t´esontappele´sendomorphismesantisyme´triques. ´ Partie I :Etude d’un exemple Dans cette partie,Elypoomnˆctonnsioleirfsedvecaotceeesctol`aeesspr´tsencided,sleee´rge 2 inf´erieurou´egal`a2.Onrappelleque(1, X, X) est une base deE. 2 Onconside`relapplicationϕ:E(elpuoctuotIdRe´neiopruP, Qd)esdntme´eel´Epar : ϕ(P, Q) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(1)Q(1). 1)re´Vreiequϕest un produit scalaire. Danscettepremie`repartie,onconsid`erequeEest muni de ce produit scalaire. 2)mephisomorlerednenocn`disOudeEd´ottuoprueinPdeEpar :   02 u(P) = 2P(0)XP(1) +P(1)X. 0 a)´Vreire:PE,2P(0)P(1) +P(1) = 0. b)equnEde´deriuuedelriquacevespemnahpsi´mteitysnleirotceeidilcuetuesndneoromE. 1 1 2 3)SoientP1= (X+X) etP2=u(P1). 2 2 2 a)eireuqre´VP1est un vecteur propre deuet que la famille (P1, P2) est orthonormale. b)ebaserunrmin´eteDredeKeu. c)enimenuresabhtrooronlematere´DBdeEonbmer´reelunetaee´icetslquelamatriceasso   0 –a0   a`uiotevitalerce`antmeesasebtta0 0 . 0 0 0 PartieII:Caract´erisationsdesendomorphismesantisym´etriques Soituun endomorphisme deE. 2 1)Pour tout couple (x, y) deEerd,ve´epplohu(x+y), x+yi. Ende´duirequeui:tseniseuqirtmeluestesmearphiym´entisetsodomnune 2 (x, y)E ,hu(x), yi=−hx, u(y)i. 2)On suppose dans cette question que la dimensionndeEest non nulle. SoientB= (e1, e2, . . . , en) une base orthonormale deE, etM= (mi,j) lamatrice ii,jn associe´ea`ument`alarelativeabesB. 2 a)Montrer :(i, j)∈ {1, . . . , n}, mi,j=hei, u(ej)i. b)nE´deeruqdeiuuisalamrtcietuneesorphndomemsiitna´mysirteesqutsieleeuntmeM t associ´ee`auemtna`alabesrelativeBrieve´M=M. PartieIII:Proprie´te´sge´n´eralesdesendomorphismesantisyme´triques Soitumodnenuemsihprom´sytianenqurietonnuldeE. Onpourrautiliserlacaracte´risationobtenuedanslaquestionII.1. 1)Soitλunnosiuerqtner.loM´reebmerλest valeur propre deu, alorsλ= 0. 2)Montrer que Imuet Kerumentairesdansgonouaexstpulpe´ntsothorE. 2 Ende´duirequeKeru= Ker(u). 2 2 3)Montrer queuhismmorp´etresymeneodtsnuueiqdeEet que toute valeur propre deu estn´egativeounulle.
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2 4)a)Montrer queuadmet au moins une valeur propre non nulle. 2 Soientxun vecteur propre deunnonellute,neaulevaprurreopa´i`esscoFle sous-espace vectoriel deE(regnnerde´apx, u(x)). b)Montrer queFest un plan vectoriel stable paru. c)Montrer queForthairealdeogonsepul,emtnlpe´F, est stable paru. ⊥ ⊥ d)On munitFdu produit scalaireh,i1ruottuoc´deinopleup(x, y´)d´eeltnemedsFpar hx, yi1=hx, yi ⊥ ⊥ Onde´nitlendomorphismeu1deFpar :xuF ,1(x) =u(x). Montrer queu1e´rtqieuedenutsodnerpmosmhinteaymisFet que Imu=FImu1. 5)Moeuirnemye´tnsieusertqir.Ontpairafapoureuqrertndgnarelmodoenuneasmhirp re´currencesurladimensiondeE.
Partie IV : Application Dans cette partie,Eest un espace vectoriel euclidien de dimension 4 etB= (e1, e2, e3, e4) est une base orthonormale deE. Soitul’endomorphisme deEocssalaree,i´itevemtna`alabesB,`alamatrice   0 4 1–1 –1 –1–4 0A=  –1 1 0–5 1 1 5 0 1)Montrer queuitysemnahpsimoronendestueedqurietm´E. 2 V´erierquelevecteurf1=e1+e2e3est vecteur propre deu.   2)SoitFle sous-espace vectoriel deErdnegnefalrape´leilamf1, u(f1etmrD.e´nuenire) base orthonormale deFet une base orthonormale deF. 3)´ddeiuernubesaoerthonormaleEnB0deE´esrrembnouxdeetsleaetbtels que la matrice   0 –a0 0 a0 0 0associ´eea`uane`tvimeletarB0soit . 0 0 0b 0 0b0
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