EML 2004 mathematiques classe prepa hec (ece)

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MATHEMATIQUES E.M.LYON Voie Eco 2004PREMIER EXERCICEOn consid`ere l’application f :R→R d´efinie, pour tout t∈R par :t2ef (t) =√21+t1. Dresser le tableau de variation de f surR comprenant les limites de f en−∞ et en +∞.√t 2 2´2. a) Etablir, pour tout t∈ [0,+∞[ : 2e −t−t > 0 et 1+t≥ 1+tb) En d´eduire:∀t∈ [0,+∞[, f (t)>t3. On consid`ere la suite r´eelle (u ) d´efinie par u = 1 et, pour tout n∈N :n 0n≥0u =f (u )n+1 n´a) Etablir que u tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.n6´b) Ecrire un programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier n tel que u > 10n4. On consid`ere l’application G :R→R d´efinie, pour tout x∈R par :Z +xG(x) = f (t)dt−xa) Montrer que G est impaire.1 0b) Montrer que G est de classe C surR et calculer G (x) pour tout x∈R.c) Quelle est la limite de G(x) lorsque x tend vers +∞ ?´d) Etudier le sens de variation de G et dresser le tableau de variation de G surR comprenant leslimites de G en−∞ et en +∞.`DEUXIEME EXERCICEOn note M (R) l’espace vectoriel r´eel des matrices carr´ees d’ordre trois a` ´el´ements r´eels, I la matrice3identit´e deM (R), 0 la matrice nulle deM (R).3 3On consid`ere, pour toute matrice A deM (R), les ensembles E (A) et E (A) suivants :3 1 2E (A) = {M∈M (R);AM =M}1 3 2E (A) = M∈M (R);A M =AM2 3Partie I1. Montrer que E (A) est un sous-espace vectoriel deM (R)1 3On admettra que E (A) est aussi un sous-espace vectoriel deM (R)2 3´2. a) Etablir : E (A)⊂E (A)1 2b) Montrer que, si A est inversible, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MATHEMATIQUES E.M.LYON Voie Eco 2004
PREMIER EXERCICE Onconside`relapplicationf:RR,eopeintud´ruottRpar : t 2e f(t) =2 1 +t 1. Dresserle tableau de variation defsurRcomprenant les limites defen−∞et en +. ´ t2 2 2. a)Etablir, pour toutt[0,+[ :2ett >1 +0 ett1 +t b)End´eduire: t[0,+[, f(t)> t 3.Onconside`relasuitere´elle(uneiapr)d´enu0= 1 et, pour toutnN: n0 un+1=f(un) ´ a) Etablirqueuntend vers +lorsquentend vers +. 6 ´ b) Ecrireun programme en Pascal qui calcule et affiche le plus petit entierntel queun>10 4.Onconside`relapplicationG:RRtrtou,pouneide´xRpar : Z +x G(x) =f(t)dt x a) MontrerqueGest impaire. 10 b) MontrerqueGest de classeCsurRet calculerG(x) pour toutxR. c) Quelleest la limite deG(x) lorsquextend vers +? ´ d) Etudierle sens de variation deGet dresser le tableau de variation deGsurRcomprenant les limites deGen−∞et en +. ` DEUXIEME EXERCICE On noteM3(Rsedrre´teorrordesmaeeldescatriccevecaps´rleirote)lslee,`aisl´´eenemr´tsIla matrice identit´edeM3(R),0 la matrice nulle deM3(R). Onconside`re,pourtoutematriceAdeM3(R), les ensemblesE1(A) etE2(A) suivants : E1(A) ={M∈ M3(R) ;A M=M}   2 E2(A) =M∈ M3(R) ;A M=AM Partie I 1. MontrerqueE1(A) est un sous-espace vectoriel deM3(R) On admettra queE2(A) est aussi un sous-espace vectoriel deM3(R) ´ 2. a)Etablir :E1(A)E2(A) b) Montrerque, siAest inversible, alorsE1(A) =E2(A) EML-2004-e Page1/ 3
´ 3. a)Etablir que, siAIest inversible, alorsE1(A) ={0}   01 1   b) Unexemple :SoitB= 01 1.eDrnimrete´E1(B) etE2(B) 0 02 Partie II   321   Onconside`relamatriceC= 1 01 22 0 1. Calculerles valeurs propres et les sous-espaces propres deC. 2.End´eduireunematricediagonaleD, dont les termes diagonaux sont dans l’ordre croissant, et une 1 matrice inversibleP´el´tlestsdeemenme`ialrpgienrelentsoga´e`auxte1,selleuqnod,C=PP D. 1 3. SoitM∈ M3(Rnote). OnN=P M. Montrer :ME1(C)⇐⇒NE1(D).   0 0 0   4. MontrerqueNE1(Dlumetees)isetroxistileents´rsisleea, b, ctels queN=a b c. 0 0 0 5.End´eduirelexpressiong´en´eraledesmatricesdeE1(Cte´dtere)ednemidoisnsebalaetnemineru E1(C). 6.Donnerlexpressionge´n´eraledesmatricesdeE2(Condebesaeeltdamineisnurenimrete´dte)E2(C). Est-ce queE1(C) =E2(C) ? ` TROISIEME EXERCICE Une urne contient des boules blanches, des boules rouges et des boules vertes. La proportion de boules blanches estb. La proportion de boules rouges estr. La proportion de boules vertes estv. Ainsi, on a.:0< b < l,0< r < l,0< v <1 avecb+r+v= 1. Oneectuedestiragessuccessifsavecremiseetonsarrˆeteaupremierchangementdecouleur. Pour tout entier natureliostuep´,onnulr`oaule´reigeaBi(respectivementRi;Vialtneemenv´´el) iluobeme`-teer)ou,r;vgeitevemtn(eerpscestblanchetir´eee On noteXairaaelbvale´utcee.sbredunomagesetirotri´laelaae´ege Parexemple,lorsquelere´sultatdestiragesestV1, V2, B3e,lavairaaelbae´lriotXprend la valeur 3. Partie I 1.Pr´eciserlesvaleurspossiblesdeX. k1k1k1 2. Montrer:kN− {0,1}, P(X=k) = (1b)b+ (1r)r+ (1v)v 3.Montrerquelavariableal´eatoireXemda´pseenutetceanere:qu 1 1 1 E(X) =+ +2 1b1r1v
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Partie II 2 Onconside`relafonctionfde classeCsur ]0,1[×]0,niearep:[1´d 1 1 1 (x, y)]0,1[×]0,1[, f(x, y+ +) = 1x1y x+y ∂f ∂f 1. Calculer,pour tout (x, y)]0,1[×]0,1[,(x, y) et(x, y). ∂x ∂y 2. Montrerqu’il existe un unique pointIde ]0,1[×]0,1[ en lequelfunereds´osepedlbitpecsustse extremumlocaletde´terminerI. 3. Montrerquefadmet enIun minimum local. 4. a)ExprimerE(X) en fonction def(b, r). 1 b) Quepeut-on dire deE(X) lorsqueb=r=v= ? 3 Partie III Z +1 1.Montrerquelint´egraledtnteeergeconvestavasrenimrete´dt.urle t 23 t tln(3) On rappelle que 3=e. Z +1 On noteα=dtere`ofalocnodisnettincongn´ersuiedRpar : t 3 2 ( g(t) = 0sit]−∞; 2[ 1 g(t) =sit[2; +[ t α3 2.Ve´rierquegnsit´edeprobabiltie´.edenutse On noteYiaareableal´irtomdaeattetnnuveg.ec´tisenmemdo 3. MontrerqueYesnetumead.erancsp´etteeerceclluteacnaec´pre 4. OnnoteZtoeae´irblial´ealravaenti`eredparaiteegela`elaYere`itnenudueeqllpeiertpala.Onrap nombrere´elxieerouurga´eal`dnnegsarni´fitreepluestlx. a)De´terminerlaloideprobabilite´deZ. 1 b)Comparerlaloideprobabilit´edeXlorsqueb=r=vbibat´lieed=altediolorpeZ. 3 -FIN -
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