EML 2004 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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EML 2004, math 1, option scientifiquePROBLEME 1Z +∞sintPartie I : Etude de la fonction x7−→x dtt+x0On note F :]0;+∞[−→R et G :]0;+∞[−→R les applications d´efinies, pour tout r´eel x∈]0;+∞[par :Z Zx xsinu cosuF(x) = du et G(x) = duu u1 1Z xcosx cosu1)a)Montrer, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ : F(x) =− +cos1− du.2x u1En d´eduire que F admet une limite finie en +∞. On note α cette limite.b)De mani`ere analogue, montrer que G admet une limite finie en +∞. On note β cette limite.Z Z+∞ +∞sinu cosuc) En d´eduire que, pour tout r´eel x ∈]0;+∞[, les int´egrales du et duu ux xZ Z+∞ +∞sinu cosuconvergent, et que : du =α−F(x) et du =β−G(x).u ux x2)a)Montrer, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ et tout r´eel T ∈]0;+∞[ :Z Z ZT x+T x+Tsint sinu cosudt = cosx du−sinx dut+x u u0 x xZ +∞sintb)En d´eduire que, pour tout r´eel x∈]0;+∞[, l’int´egrale dt converge et que :t+x0Z Z Z+∞ +∞ +∞sint sinu cosudt = cosx du−sinx dut+x u u0 x xOn note A :]0;+∞[7−→R l’application d´efinie, pour tout r´eel x∈]0;+∞[, par :Z +∞sintA(x) = dtt+x023) Montrer que l’application A est de classe C sur ]0;+∞[ et que, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ :100A (x)+A(x) =x0´4) Etablir que A(x) et A (x) tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞.Z 1cosu5)a)Montrer : ∀x∈]0;1], 06 du6−lnxuxZ +∞cosub)En d´eduire que sinx du tend vers 0 lorsquex tend vers 0 par valeurs strictementuxpositives.Z Z+∞ +∞sinu sinuc) Montrer que l’int´egrale du converge, et´etablir queA(x) tend vers duu u0 0lorsque x tend ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EML 2004, math 1, option scientifique
PROBLEME 1
Z +sint Partie I :Etude de la fonctionx7xdt t+x 0 On noteF:]0; +[−→RetG:]0; +[−→R,sopruotdse´neiutr´eelppaselnoitacilx]0; +[ par : Z Z x x sinucosu F(x) =duetG(xd) =u u u 1 1 Z x cosxcosu 1)a)rep,nortM´eeloutrourtx]0; +[ :F(x) =+ cos 1du. 2 x u 1 Ende´duirequeFadmet une limite finie en +. On noteαcette limite. b)uqrertnoeanre`eni,mueogaleDamGadmet une limite finie en +. On noteβcette limite. Z Z ++sinucosu c)uttoeer´e,quurpode´deriulnEx]0; +´egrales,[elistnduet du u u x x Z Z ++sinucosu convergent, et que :du=αF(xd) etu=βG(x). u u x x 2)a)lMontopruer,r´reeottux]0; +lee´troutt[eT]0; +[ : Z ZZ T x+T x+T sintsinucosu dt= cosxdusinxdu t+ux u 0x x Z +sint b)e´leunodrtEude´qerip,eutruox]0; +[degralnt´e,litconverge et que : t+x 0 Z ZZ +++sintsinucosu dt= cosxdusinxdu t+ux u 0x x
On noteA:]0; +[7Ree´rtuotleppd´aconaltiiurpoe,lnix]0; +[, par : Z +sint A(xd) =t t+x 0 2 3)Montrer que l’applicationAest de classeCsur ]0;+ruottu´reel[etque,pox]0; +[ : 1 00 A(x) +A(x) = x ´ 0 4)Etablir queA(x) etA(x) tendent vers 0 lorsquextend vers +. Z 1 cosu 5)a)Montrer :x]0; 1],06du6lnx u x Z +cosu b)irequesinEnd´eduxdutend vers 0 lorsquextend vers 0 par valeurs strictement u x positives. Z Z ++sinusinu c)rerqMontdelgearni´teulurgveonceuqrilbate´te,eA(x) tend versdu u u 0 0 lorsquextend vers 0 par valeurs strictement positives.
Z +∞ −xt e Partie II :Etude de la fonctionx7dt 2 1 +t 0 kxt 1)ntMorqrep,eutruortuolee´x]0; +[ et tout entier naturelk, l’applicationt7te Z +kxt te estborne´esur[0;+´ddetene,[´egrintqueluireeladtconverge. 2 1 +t 0 On note, pour tout entier naturelk,Bk:]0; +[−→Reip,uotroidne´napplicatltrouel´e Z +kxt te x]0,+[, par :Bk(x) =dt. 2 1 +t 0 2)a)lisinetuer,roMtnroL-gaargn:elyaTede´tilage´nielplemexartpan 2 u u|u| uR,|e1u|6e 2 b)tourr´utleeEe´dnriudop,ex]0; +[, pour tout entier naturelkpouretee´rtuotlhtel que x 0<|h|6: 2   Bk(x+h)Bk(x)|h|x +Bk+1(x)6Bk+2 h2 2 c)Montrer que, pour tout entier naturelk,Bk´etdes+;0]ruselbavir[ et que : 0 x]0; +[, Bk(x) =Bk+1(x) 2 d)dnEude´qerieuB0est de classeCsur ]0;+[teuq,eoprutoutr´eelx]0; +[ : 1 00 B(x) +B0(x) = 0 x 3)´reeottulntMourpor,rex]0; +[ : 1 1 0 06B0(x)6et 06B0(x)6 2 x x 0 etende´duireleslimitesdeB0(x) etB(x) lorsquextend vers +. 0 ZZ 1 +x 1 1 x 4)a)Montrer :x]0; +[,e dt6B0(x)6dt. 2 2 1 +t1 +t 0 0 h h π b)´ueJelrep,tsiuortuotry0; : 2 Z Z ytany 1 du= dt , 2 1 +t 0 0 Z +1π etend´eduire:dt= . 2 1 +t2 0 c)nd´eduirelalimitedeEB0(x) lorsquextend vers 0 par valeurs strictement positives. Z +sinu PartieIII:Calculdelint´egraledu u 0 Onconside`relapplicationϕ:]0; +[−→Rnie,poud´eletruorte´x]0; +[, par : ϕ(x) =A(x)B0(x), o`uAneidee´alaPadsnrtiet´´eaIetB0ne´adeialsntraPiet´eda´eII. On noteU:]0; +[−→Rlpalpcitaiond´enie,pourtuorte´lex]0; +[, par :  2 2 0 U(x) =ϕ(x) +ϕ(x) 1)Montrer queU+est constante sur ]0;[. 2)Quelle est la limite deU(x) lorsque x tend vers +? 3)d´ueinrde:Ex]0; +[, A(x) =B0(x). Z +sinu 4)Quelle est la valeur dedu? u 0
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PROBLEME 2
Danstoutleproble`me,neugnsi´ernientned2a.uoe´ag`lp´erieuraturelsu Mn(Rrracsee´rtamseciblemesedtlesnse)dredorllesr´eenetMn,1(R) l’ensemble des matrices colonnesre´ellesa`nlignes. Une matriceMdeMn(R) ou deMn,1(R) est dite positive si et seulement si tous les coefficients deMsont positifs ou nuls. On notera alorsM>0. Une matriceMdeMn(R) ou deMn,1(R) est dite strictement positive si et seulement si tous les coefficients deMsont strictement positifs. On notera alorsM >0. SiMetNsont deux matrices de ou deux matrices deMn(R) ou deMn,1(R) , la notationM>N (respectivementM >N) signifie queMN>0 (respectivementMN >0 ). Une matriceMdeMn(Rviseudtcpeordtti)esxuedseleire´velelsintmeleeutsiensconditio suivantes :Mest positive et il existe une matrice positivePdeMn,1(R) telle queP>M P0. Partie I :Etude d’exemples    1 01 1 1    1)id´econsnErantUmontrer que la matrice= 1 ,Aest productive.0 1= 1 3 1 11 0   1 4 1   2)Montrer que la matriceB= 2n’est pas productive.1 3 0 0 1 PartieII:Caracte´risationdesmatricespositives SoitMune matrice deMn(R). 1)Montrer que, siMest positive, alors, pour toute matrice positiveXdeMn,1(R), le produit M Xest positif. 2)poceriatemuttourop,is,euqrertnoment,quemiproR´ecsitiveXdeMn,1(R), le produit M Xest positif, alors la matriceMest positive. PartieIII:Caracte´risationdesmatricesproductives 1)SoitAune matrice productive deMn(R) dont le coefficient de lai`-melegineetdelaj-`eme colonneestnote´aij, etPune matrice positive deMn,1(R) telles quePAP >0. On note p1, . . . , pnles coefficients de la matrice colonneP. a)Montrer queP >0. b)SoitXapa`tanenrtpaMn,1(R) telle queX>AX. On notex1, . . . , xnles coefficients de xj la matrice colonneXsignnd´e.Orapecitreqseulneorlsel´esrdetitepsulpeljde´crit pj xk l’ensemble{1, . . . , n}etkun indice tel quec= . pk   n X Etablir quec pkakjpj>nE´d.0qureuiedec>0 et queXest positive. j=1 c)SoitXa`appartenantMn,1(R) telle queX=AX. En remarquant queX>A(X), montrer queXlluntseequreuiedd´Ene.InAbielevsrtsnie,o`uIne´tdiecitneatritlames deMn(R). 1 d)Montrer que, pour toute matrice positiveXdeMn,1(R), la matriceY= (InA)Xest positive (on pourra utiliserIII.l.b). 1 Ende´duireque(InA) estpositive. 2)trmaepicitoseivDanscettequestiono,cnnois`dreueenBdeMn(R) telle queInBsoit 11 inversible et telle que (InBpositive. On note) soitV= (InB)Uu,o`Uest la 3
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