EML 2005 mathematiques classe prepa hec (ece)

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EML 2005, math 1, option ´economiqueEXERCICE 1On consid`ere les ´el´ements suivants deM (R) :3     1 0 0 0 1 0 0 0 1     I = 0 1 0 , J = 0 0 1 , K = 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0On note E le sous-espace vectoriel deM (R) engendr´e par I, J et K.30Pour toute matrice M de E, on note M = I, et si M est inversible, on note, pour tout entier−k −1 k k k −1 −knaturel k, M = (M ) , et on rappelle qu’alors M est inversible et que (M ) =M .1) D´eterminer la dimension de E.2 22) Calculer J , JK, KJ et K .3) Soit la matrice L =I +J.a) Montrer, pour tout entier naturel n :n(n−1)nL =I +nJ + K2b)V´erifier que L est inversible et montrer, pour tout entier relatif n :n(n−1)nL =I +nJ + K2n 2c) Exprimer, pour tout entier relatif n, L a` l’aide de I, L , L et n. 0 2 –13 On consid`ere la matrice A = 1 0 1 de M (R) et on note f l’endomorphisme de R32 –3 33 3repr´esent´e par la matrice A dans la base canonique deR et e l’application identique deR danslui-mˆeme.4) Montrer que f admet une valeur propre et une seule que l’on d´eterminera.Est-ce que f est diagonalisable?5)a)Soit w = (1,0,0).Calculer v = (f−e)(w) et u = (f−e)(v).3Montrer que (u,v,w) est une base deR .b)D´eterminer la matrice associ´ee a` f relativement `a la base (u,v,w).3 nc) Montrer que f est un automorphisme de R et, pour tout entier relatif n, exprimer f `a2l’aide de e, f, f et n.EXERCICE 2On consid`ere l’application f :R→R, d´efinie, pour tout r´eel t, par :(0 si t6 01f(t) = si t> ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EML2005,math1,option´economique
EXERCICE 1 Onconside`relese´l´ementssuivantsdeM3(R) :      1 0 00 1 00 0 1      I1 0= 0, J= 00 1, K= 00 0 0 0 10 0 00 0 0 On noteEle sous-espace vectoriel deM3(Rrdneape´rgne)I,JetK. 0 Pour toute matriceMdeE, on noteM=I, et siMest inversible, on note, pour tout entier k1k kk1k naturelk,M= (M) ,et on rappelle qu’alorsMest inversible et que (M) =M. 1)idalrenidnoisnemermte´eDE. 2 2 2)CalculerJ,J K,KJetK. 3)Soit la matriceL=I+J. a)Montrer, pour tout entier natureln: n(n1) n L=I+nJ+K 2 b)euqreire´VLest inversible et montrer, pour tout entier relatifn: n(n1) n L=I+nJ+K 2 n2 c)Exprimer, pour tout entier relatifn,Lediala`edI,L,Letn.   0 2–1   3 Onconsid`erelamatriceAde0 1= 1M3(R) et on notefl’endomorphisme deR 2 –33 3 3 repr´esente´parlamatriceAdans la base canonique deRetel’application identique deRdans lui-mˆeme. 4)Montrer quefra.mineleuqelurete´dnoprrorpeusenetueeunetalevdma Est-ce quef?est diagonalisable 5)a)Soitw= (1,0,0). Calculerv= (fe)(w) etu= (fe)(v). 3 Montrer que (u, v, w) est une base deR. b)a´ee`osicecsatairlrmanemieretD´fvemelatire(esa`tnabalu, v, w). 3n c)Montrer quefest un automorphisme deRet, pour tout entier relatifn, exprimerf`a 2 l’aide dee,f,fetn.
EXERCICE 2 Onconside`relapplicationf:RRel´etrourtp,uoneid,e´t, par : ( 0 sit60 1 f(t) = sit >0 2 (1 +t) 1)rTcarelalluredelacourerebe´rptnesvitaeedf. 2)Montrer quefutensetie´edsnobabdepr´e.ilit Z x 3)rertnoMruop,euqeer´uttolxngtr´iee,lalf(t) dtte,eclacnocgrevla.eeint´egrulercett −∞ On distinguera les casx60etx >0. Z α 1 4)rnurenimrete´Dtifposi´eelαtel quef(t) dt= . 2 0 5)Soitx[0,+e.´x[ Z x+u Onconsid`erelafonctionϕxesur[0;+´dein[ par :u[0,+[, ϕx(u) =f(t) dt. xu
a)Calculerϕx(0) etlimϕx(u). u+Z x+v   2 b)Montrer :(u, v)[0,+[< v, u=ϕx(v)ϕx(u)>f(t) dt. x+u End´eduirequeϕxest strictement croissante sur [0;+[. 1 c)On admet queϕxest continue sur [0;+onnoM.[rtreuqle´qeauitϕx(u) =, d’inconnue 2 u, admet une solution et une seule dans [0;+[. On noteU+: [0;[Rel´etroulapoitacilpta`,iuqnx[0; +[, associeU(x) l’unique solutiondel´equationϕx(u) = 0. Z x+U(x) 1 Ainsi, pour toutx[0; +[, on a :f(t) dt= . 2 xU(x) 1 6)a)er,´eriVottuoprux:[0; [U(x) = 1x. 2 1 1 b)Pour toutx+[ ;[, montrer :ϕx(x)>, puis :xU(x)>riude´dn:e0,ete 2 2 p 2 U(x4 + () =x+ 1)2. 7)a)Montrer que l’applicationU+est continue sur [0;[. b)avibe´irlrdadueiEteedt´liU+sur [0;[ c)daleuqrertnoMequationroited´y=xedevneseitaterrbr´epale`ouacsamytptoe1tsU. d)devitatneurbelaco´esereprrelrTcaeredlaulU. a0= 1 8)erd`sionteuiasel´reell(ecnOan)nNeniepar´d nN, an+1=U(an) 1 a)Montrer :nN, an>. 2 b)Montrer que la suite (an)nNnte.issaecro´dtse 1 c)En(tesaiuuqleiuer´ddean)nN´egale`aimiteest.oncrgveuqrelasemteertno 2 d)Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entiernNtel que : 1 6 an610 2 EXERCICE 3 1)Pre´liminaire: Soitxpe´dadnesetnmed,me]ˆ0e;1[.Dansunesuccseisnode´rpuevesdeBernoulliin probabilit´ede´checxselbairaiotae´las(re´de,noeuxsnitdsdevuiteSn)n>1et (Tn)n>1de la fa¸consuivante: pour tout entier naturelnnon nul,Snesuvrevaltairasee´egtoirl´eablea´perbdenumolaae ne´cessairespourobtenirlene`i-useme`cc;s T1stevalaabriallee´taioere´agela`S1et pour tout entier natureln>2,Tnest la variable al´eatoiree´galeaunombred´epreuvessuppl´ementairesne´cessairespourobtenirlen-i`eme succ`esapr`esle(n.esc`ucesemi`)-1 Ainsi, pour toutn>2,Tn=SnSn1et pour toutn>1,Sn=T1+T2+∙ ∙ ∙+Tn. a)Pour tout entier naturelnunnonrete´d,lalrlnemideoiTns,nacslauc,lodnnerlesp´eranceet et la variance deTn. b)Pour tout entier natureln>sti2,juadcnpeneni´drell´saleabrivaesedseriotaeT1, T2, . . . , Tn. c)Pour tout entier naturelnedecnnainrorqreluel,nuntmoteecaval´psenareSnesnie´dtnos n nx et montrer :E(Snet) =V(Sn.) = 2 1x(1x) d)Soitnonlnl.nuetD´miernuitneanreerutenlrlaioedSn. 2
+X Que peut-on dire, sans calcul, de la valeur deP(Sn=k) ? k=n e)tuotruop,eridu´endExet pour tout entier naturel]0; 1[nnon nul : +n X x n1k Cx= k1 n (1x) k=n 2)Deux joueursAetB.eceA`corphatcenedneaun`cuseisusccalcnnoeduneersdepi`mˆem chaquelancer,laprobabilit´edobtenirpileestp(px´e,pt´libibaroaptl,erinetbode]0;1[) face estq= 1p. Le joueurAilndtiobetrˆuaeqreimelipltneerpe.OnnotesratelineecocmmXla variable ale´atoiree´galeaunombredelancerseectu´esparlejoueurA. Le joueurBeffectue alors autant de lancers que le joueurAet on noteYreoiate´laelbairaval ´egaleaunombredepilesobtenuparlejoueurB. a)Rappeler la loi deXet, pour toutk>1, donner la loi conditionnelle deYsachantX=k. b)Quelles sont les valeurs prises parY? +X q 2k1 c)Montrer :P(Y= 0) =pq= . 1 +q k=1 d)Soitnun entier naturel non nul. +X n n+1 2kn1 Montrer :P(Y=nC) =p q, k k=n puis, en utilisant1.e,  n1 1q P(Y=n) = 2 (1 +q+) 1q
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