EML 2006 mathematiques classe prepa hec (ecs)

Publié par

Programme ESC d’E.M.LYONCONCOURS D’ENTREE 2006MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option scienti…que)Les candidats ne doivent pas faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite.Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.ProblŁme IPrØliminaires 12n t1. (a) Justi er, pour tout n2N : t e = o .2t!+1 t+1Z2n t(b) Montrer que, pour tout n2N, inl tØgrale t e dt est convergente. 1+1Z2t2. En dØduire que, pour tout polyn me P deR[X], inl tØgrale P(t)e dt converge. 1+1Z p2tOn admet dans tout le problŁme : e dt = . 1+1Z2n tOn note, dans tout le problŁme, pour tout n2N : I = t e dt.n 1n+13. (a) tablir, à l aide d’une intØgration par parties, pour tout n2N : I = I .n+2 n2(b) Montrer, pour tout p2N : I = 0.2p+1p(2p)!(c) Montrer, pour tout p2N : I = .2p 2p2 p!I. Recherche d’extrØmums locaux pour une fonction de deux variables rØelles2 2On note F :R !R l application dØ…nie, pour tout (x;y)2R , par :+1Z1 22 2 tpF(x;y) = (t x) (t y) e dt 13 12 2 2 2 21. Montrer, pour tout (x;y)2R : F(x;y) = + (x +4xy +y )+x y .4 222. Calculer les dØrivØes partielles premiŁres de F en tout point (x;y) de R , et en dØduire les trois pointscritiques de F.1/43. DØterminer les extrØmums locaux de F. En chacun de ceux-ci, prØciser s’il s agit d un minimum local oud un maximum local, et prØciser la valeur de F en chacun de ces points.II. Calcul d’intØgrales dØpendant d’un paramŁtre+1 +1Z Z2 2t t1. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 826
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
Programme ESC dE.M.LYON
CONCOURS DENTREE 2006
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option scientique)
Les candidats ne doivent pas faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Problème I Préliminaires   21 nt 1. (a)Justier, pour toutn2N:t e=o. 2 t t!+1 +1 Z 2 nt (b) Montrerque, pour toutn2N, lintégralet edtest convergente. 1 +1 Z 2 t 2. Endéduire que, pour tout polynômePdeR[X], lintégraleP(t)e dtconverge. 1 +1 Z 2p t On admet dans tout le problème :e dt=. 1 +1 Z 2 nt On note, dans tout le problème, pour toutn2N:In=dtt e. 1 n+ 1 3. (a)tablir, à laide dune intégration par parties, pour toutn2N:In+2=In. 2 (b) Montrer,pour toutp2N:I2p+1= 0. (2p)!p (c) Montrer,pour toutp2N:I2p=. 2p 2p! I. Recherche dextrémums locaux pour une fonction de deux variables réelles 2 2 On noteF:R!Rlapplication dénie, pour tout(x; y)2R, par : +1 Z 12 2 2t F(x; y) =p(tx) (ty)e dt 1 3 1 2 22 22 1. Montrer,pour tout(x; y)2R:F(x; y) =+ (x+ 4xy+y) +x y. 4 2 2 2. Calculer les dérivées partielles premières deFen tout point(x; y)deR, et en déduire les trois points critiques deF.
1/4
3. Déterminerles extrémums locaux deFchacun de ceux-ci, préciser sil sagit dun minimum local ou. En dun maximum local, et préciser la valeur deFen chacun de ces points.
II. Calcul dintégrales dépendant dun paramètre +1+1 Z Z 2 2 tt 1. Montrerque, pour toutx2R, les intégralessin(xt)e dtettcos(xt)e dtconvergent. 0 0 On noteS:R!RetC:R!Rles applications dénies, pour toutx2R, par : +1+1 Z Z 2 2 tt S(xsin() =xt)e dtetC(x) =tcos(xt)e dt 0 0 2 2. Etablir,pour touta2R, et tout2R:jsin(a+)sinacosaj6. 2 On pourra utiliser linégalité de Taylor-Lagrange. S(x+h)S(x) 3. (a)Démontrer, pour toutx2R:C(x)!0. hh!0 0 (b) Endéduire queSest dérivable surR, et que, pour toutx2R; S(x) =C(x). 1x 4. (a)A laide dune intégration par parties, établir, pour toutx2R:C(x) =S(x). 2 2 2 2 x xZt (b) Montrer,pour toutx2R: 2e4S(x) =e4dt. 0 (c) Endéduire, pour toutx2R: 2 22 2 x x xZt xZt   1 1x S(x) =e4e4dtetC(x) =e4e4dt 2 24 0 0 III. Obtention dun développement limité +1 Z 12 t 1. Montrerque, pour toutx2R, lintégralee dtconverge. 2 2 1 +x t 1 +1 Z 12 t On noteg:R!Rlapplication dénie, pour toutx2R, par :g(x) =e dt. 2 2 1 +x t 1 1 2 3 2. (a)Montrer, pour toutu2[0; +10[ :6(1u+u)6u. 1 +u +1 Zp 2152 24 4t6 (b) Endéduire, pour toutx2R: 06(1x t+x t)e dtg(x)6x. 8 1 3. Montrerquegadmet un développement limité à lordre5en0, et former ce développement limité.
IV. Nature dune série +1 Z 2p t2 t 1. Montrerque, pour toutp2N, lintégralee dtconverge. 2 t+ (2p)! 1 +1 Z 2p t2 t On note, pour toutp2N:up=e dt. 2 t+ (2p)! 1
2/4
I 2p 2. Montrer,pour toutp2N: 06up6. (2p)! En déduire que la série de terme généralupest convergente.
Problème II Soitnun entier supérieur ou égal à2. Ondésigne parIn, la matrice unité deMn(C). n On considère unn-uplet(a ;:::; aa ;)deCet le polynôme : 0 1n1 n n1 P=X+an1X+  +a1X+a0 0 1 0      0a 0 . . . 1 (0).a1 . . . . 0. .. . On noteCla matrice deMn(C)dénie parC= . . . . . . .. . ... B. .C . . @.(0). .0aA n2 0    0 1a n1 On dit queCest la matrice compagnon du polynômeP. n On noteB0= (e1; : : : ; en)la base canonique deC. n n On noteIdlapplication identité deCet on appelleflendomorphisme deCtel queCsoit la matrice associée àfrelativement à la baseB0. 0k+1k On notef= Idet, pour tout entier naturelk,f=ff. 1. (a)Exprimer, pour touti2[1; n1]],f(ei)en fonction deei+1. j n (b) Endéduire :8j2[1; n1]]; f(e1) =ej+1etf(e1) =(a0e1+a1e2+  +an1en). n nn1 2. Soitglendomorphisme deCdéni parg=f+an1f+  +a1f+a0Id.
(a) Vérier:g(e1) = 0. i i (b) Montrer:8i2N; gf=fg. (c) Endéduire :8i2[1; n]]; g(ei) = 0. (d) Montrerque le polynômePest annulateur de lendomorphismef. 5 32 Application 1:Déterminer une matriceA2M5(C)telle queA=A+ 2A+I5. (e) tablirque toutes les valeurs propres deCsont des racines du polynômeP.
n1 3. (a)SoitQ=0+1X+  +an1Xun polynôme non nul et de degré inférieur ou égal àn1. n n1 On noteQ(f)lendomorphisme deCdéni parQ(f) =0Id +1f+  +n1f. CalculerQ(f)(e1). (b) Endéduire quil nexiste pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal àn1et annulateur de f. (c) Soitune racine du polynômeP. Il existe donc un unique polynômeR2C[X]tel queP= (X)R. n ~ ~ Vérier que(fId)R(f) = 0, où0est lendomorphisme nul deC. (d) Conclureque toutes les racines du polynômePsont des valeurs propres deC.
4. (a)Montrer que, pour tout nombre complexex, la matrice(CxIn)est de rang supérieur ou égal àn1. En déduire que chaque sous-espace propre deCest de dimension1. (b) Endéduire queCest diagonalisable si et seulement siPadmetnracines deux à deux distinctes. 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 B C 5. (a)Montrer que la matriceA1=deM4(C)est diagonalisable. @ A 0 1 0 0 0 0 1 0
3/4
0 1 0 0 04 1 0 08 B C (b) Montrerque la matriceA2=deM4(C)nest pas diagonalisable. @ A 0 1 03 0 0 12 t 6. OnnoteB=Cla matrice transposée deC.
(a) Montrer que, pour tout nombre complexet, la matrice(BtIn)est inversible si et seulement si la matrice(CtIn)est inversible. (b) Endéduire que les matricesBetCont les mêmes valeurs propres. (c) Soitune valeur propre deBune base du sous-espace propre de. DéterminerBassocié à. (d) Onsuppose que le polynômePadmetnracines1; :::; ndeux à deux distinctes.Montrer queBest 0 1 1 1  1 12  n 2 22    diagonalisable et en déduire que la matriceV=1 2nest inversible. B C @ A . .. n1n1n1    1 2n 7. SoitEunC-espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme deEadmettantnvaleurs propres  ;:::; deux à deux distinctes. 1n Lendomorphismeuest donc diagonalisable et on noteE= (e1; :::; en)une base deEconstituée de vecteurs propres deurespectivement associés à:::;  ;. 1n   n1 (a) Soita="1+"2+  +"n. Montrerque la familleBa=a; u(a); :::; u(a)est une base deE. n n1 (b) Montrerquil existe un polynômeP1=X+bn1X+  +b1X+b0tel que la matrice associée à   n1 urelativement à la baseBa=a; u(a); :::; u(a)soit la matrice compagnon du polynômeP1.
4/4
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.