EML 2007 mathematiques classe prepa hec (ece)

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EML 2007 voie EcoExercice 1On consid`ere la matrice carr´ee d’ordre trois suivante : 1 102 21 1 A = 02 21 1 02 21. Montrer, sans calcul, que A est diagonalisable.2. D´eterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible et sym´etrique P, de premi`ere −1ligne 1 1 1 et de deuxi`eme ligne 1 −1 0 , telles que A =P D P .−1Calculer P .∗ n3. D´eterminer, pour tout n∈N , la matrice A par ses ´el´ements.4. Soient u , v , w trois nombres r´eels positifs ou nuls tels que u +v +w = 1.0 0 0 0 0 0   u u0 n∗   On note X = v et, pour tout n∈ N , X = v la matrice colonne d´efinie par la0 0 n nw w0 nrelation de r´ecurrence : X =A X .n n−1na) Montrer, pour tout n∈N :X =A Xn 0b) En d´eduire, pour tout n∈N : n1 1 1 u = + u − − n 0 3 3 2  n1 1 1v = + v − −n 0 3 3 2  n 1 1 1 w = + w − −n 03 3 2c) D´eterminer les limites respectives u, v, w de u , v , w lorsque le nombre entier n tendn n nvers l’infini. q2 2 2On note, pour tout n∈N :d = (u −u) +(v −v) +(w −w)n n n n1d) Montrer, pour tout n∈N :d ≤n n−12−2e) D´eterminer un entier naturel n tel que : d ≤ 10nExercice 2Pr´eliminaireOn donne : 0,69< ln2< 0,70.On consid`ere l’application :2g : ]0;+∞[→R, x7→g(x) =x +lnx1. Montrer que g est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[ et d´eterminer les limites de gen 0 et en +∞2. Montrer que l’´equation g(x) = 0, d’inconnue x∈ ]0;+∞[, admet une solution et une seule.On note α l’unique solution de cette ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Exercice 1 Onconsid`erelamatricecarre´edordretroissuivante:   1 1 0 2 2 1 1   A= 0 2 2 1 1 0 2 2 1. Montrer,sans calcul, queAest diagonalisable. 2.De´terminerunematricediagonaleDeiruq´mteteystemenursveleibriatincePd,remi`eepre    1 ligne111etdedeuxie`meligne11 0, telles queA=PP D. 1 CalculerP. n 3.De´terminer,pourtoutnN,la matriceA.´eesrspatseneml´ 4. Soientu0, v0, w0letseuqssotilepsnulufiosisnotrosr´embreu0+v0+w0= 1.    u0un    On noteX0=v0et, pour toutnN, Xn=vnarlpaien´eednnolocecirtamal w0wn relationdere´currence:Xn=A Xn1. n a) Montrer,pour toutnN:Xn=A X0 b)End´eduire,pourtoutnN:   n 1 11 un= +u0− − 3 32    n 1 11 vn= +v0− − 3 32   n 1 11 wn= +w0− − 3 32 c)De´terminerleslimitesrespectivesu, v, wdeun,vn,wnlorsque le nombre entierntend vers l’infini. q 2 22 On note, pour toutnN:dn= (unu() +vnv() +wnw) 1 d) Montrer,pour toutnN:dnn1 2 2 e)D´eterminerunentiernaturelntel que :dn10
Exercice 2 Pre´liminaire On donne : 0,69<ln 2<0,70. Onconside`relapplication: 2 g+: ]0;[R, x7→g(x) =x+ lnx 1. Montrerqueg+est continue et strictement croissante sur ]0;deslimitesmrnireele[dte´etg en 0 et en +2.Montrerquele´quationg(x) = 0, d’inconnuex]0; +[, admet une solution et une seule. On noteαuqseuinl´eteetecndioutol.noitauq 1 3. Montrer:< α <1 2
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Partie A   1 On noteI=,erlpalpocsndie`1onetication: 2 1 1 2 f:IR, x7→f(x) =xxlnx 4 4 1. a)Montrer quefest strictement croissante surI.   1 1 b) Montrer:< f< f(1)<1. 2 2 c)End´eduire:xI, f(x)I. 2.Onconside`relasuiter´eelle(un)´deinperau0= 1 et, pour toutnN, un+1=f(un). nN a) Calculeru1 b) Montrer:nN, unI c) Montrerque la suite (unisroecd´ste)astn.e nN d) Montrerque la suite (unr´leleeitimsteeuqtelasevnocegre)α. nN
Partie B Onconside`relapplication: y F:R×RR,(x, y)7→F(x, y) =x e+ylnx + 11. a)Montrer queFest de classeCsurR×Retcalculereldse´ir´veepsraere`imerpselleitesd + Fen toutpoint (x, y) deR×R. + b) MontrerqueFadidenumire`alaetunadmombreuqituteeniopirctonlprexeunsuelq r´eelα. 2. Est-cequeF?admet un extremum local
EXERCICE 3 1.Onconside`relapplicationf:RRe´lerbrentmotruoepouenid´xpar : x f(x) =esix >0 f(x) = 0six0 Montrer quefensit´edeprobabi´til.eetsnude Onconside`reunevariableale´atoireXadmettantfurdepo´e.nsit 2.Onde´nitlavariableal´eatoirediscr`eteYva`aurlenadssN:suivanteafalnoc¸ed ?l´ev´nemene(tYenemenv´´elaleg=)0se´t(tX <1) ?pour tout nombre entier strictement positifnve´l,ene´tnem(Y=ne´enemtnst)ega´eall`ev´ (nX < n+ 1).   1 n a) Montrer,pour tout entier natureln: P(Y=n1) =e e b)Montrerquelavariableale´atoireYealerisecr´nptodenoiruq´mte´goeeloiitun+1su parame`tre. Ende´duirelesp´eranceetlavariancedeY.
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c)Recopieretcomple´terleprogrammeci-dessouspourquilsimulelavariableale´atoireY program eml2007; var y :integer; u :real; begin randomize ; ... u :=random; y :=; while... do ... ... ... writeln(’y vaut ’, y); end. 1 3. SoitU(une variable de Bernoulli telle que PU= 1) =P(U= 0) =. 2 Onsupposequelesvariablesale´atoiresUetY.sdnepetnaontind´es Soitlavariableal´eatoireT= (2U1)Y2seriotae´lrpdo,lesariabesvauitdU1 etY. Ainsi,Tsdursanevunsteariableal´eatoirdesirce`eta`avelZ, l’ensemble des entiers relatifs. a)Montrerquelavariableale´atoireTaeeunetdmcnare´pseE(T) et calculerE(T) 2 2 b)Ve´rierqueT=Y Ende´duirequelavariableal´eatoireTadmet une varianceV(T) et calculerV(T) c) Pourtout nombre entier relatifntili,(Pe´lccaerulprlaabobT=n). 4.Soitlavariableale´atoireD=XY. On noteFDtrape´reednoitiaflndioctonD. a) Justifier:t]−∞; 0[, FD(tet :) = 0t[1; +[, FD(t) = 1. b) Soittne´ve´lremirpxE;1[.[0t(enemDte´enemtneded´sveail`a)s(nXn+t), nN c)Pourtoutnombrer´eelt[0; 1[ et pour tout nombre entier naturelnbaroaprlet´libiucelc,la P (nXn+t). t 1e d) Montrer:t[0; 1[, FD(t) = 1 1e e) MontrerqueDesnetuiravelbae´laiotasienedunerinrmtee´D.e´tisneda`ere´tdeD.
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