ENAC 2004 icna epreuve commune classe prepa mp

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Questions li´ees : 1 `a 16 et 17 `a 40.La calculatrice personnelle est interdite; le concours fournit une calculatrice.PARTIE ISoit E un espace vectoriel euclidien de dimension 4 rapport´e `a une base orthonorm´ee B =(e ,e ,e ,e ). On consid`ere l’endomorphisme f de E qui a` tout vecteur de coordonn´ees1 2 3 4 a,b2 2 2(x,y,z,t) dans la baseB associe le vecteur de coordonn´ees (a x+aby +abz +b t,abx+a y +2 2 2 2 2b z+abt,abx+b y+a z+abt,b x+aby+abz+a t) dans la baseB, ou` a,b sont des r´eels fix´es.Question 1. La matrice M de f dans la baseB v´erifiea,b a,b 2(a+b) 0 0 02 0 (a+b) 0 0 a) M =a,b 2 0 0 (a+b) 020 0 0 (a+b)b) M est sym´etrique et a` coefficients complexesa,bc) M est inversible car toute matrice sym´etrique r´eelle est inversiblea,bd) M est diagonalisable car toute matrice sym´etrique complexe est diagonalisable.a,bQuestion 2. Le polynˆ ome caract´eristiqueχ(λ) = det(f −λid) de l’endomorphismef peut s’´ecrire,ida,b a,bd´esignant l’endomorphisme identit´e 2 1 ab ab b 2 2 1 a −λ b ab2 a) χ(λ) = (a+b) −λ 2 2 2 2 0 b −a +λ a −b −λ 0 2 2 0 0 0 a −b −λ 1 1 0 0 2 2 2 ab a −λ b −a +λ 02 b) χ(λ) = λ−(a+b) 2 2 2 ab b a −b −λ 0 2 2 2 b ab 0 a −b −λ 1 −1 0 2 2 2 2 c) χ(λ) = λ−(a+b) λ−a +b ab λ−a −1 2 ab −b 1 1 ab ab 2 2 2 2 2 d) χ(λ) = λ−(a+b) λ−a +b 1 a −λ b 0 −1 1Question 3. Les valeurs propres de l’endomorphisme f sont pour tout couple (a,b) de r´eelsa ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Questionsli´ees:1a`61te71a`04. La calculatrice personnelle est interdite ; le concours fournit une calculatrice.
PARTIE I
SoitEidneedideielcuilrapport´mension4roesnohtua`eabenm´oreeapsenurotcevecB= (e1, e2, e3, e4die`ocsn.)nOehismmorpendorelfa,bdeE´ennesuota`iuqdoorcodeurteectv 2 2 2 (x, y, z, t) dans la baseBsaicosodnne´se(elevecteurdecoora x+aby+abz+abxb t, +a y+ 2 2 2 2 2 b z+abt, abx+b y+a z+xabt, b +aby+abz+a t) dans la baseBu`o,a,b´exs.r´eslseesdtno Question 1.La matriceMa,bdefa,bdans la baseBeire´v   2 (a+b0 0) 0 2 0 (a+b) 0 0   a)Ma,b=2   0 0 (a+b) 0 2 0 0 0 (a+b) b)Ma,blempcotssxees´etrtsymtea`qieuicneoce c)Ma,binstrsveleibevnitseacelbisrrtoutematricesyme´rtqieu´reellee d)Ma,blanogaidtseexelp.leabistairtumeraotlbceecomriqum´etcesyseaidtanogasil Question 2.oˆemacarLpelonyiquect´eristχ(λ() = det fa,bλid) de l’endomorphismefa,btseup,reriec´id de´signantlendomorphismeidentite´ 2 1ab ab b 2 2   1aabλ b 2 a)χ(λ) = (a+b)λ 2 2 2 2 0ba+λ abλ0   2 2 0 0 0abλ 1 1 0 0 2 2 2   ab aλ ba+λ0 2 b)χ(λ) =λ(a+b) 2 2 2 ab b abλ0 2 2 2 b ab0abλ 11 0     2 2 2 2 c)χ(λ) =λ(a+b)λa+b ab λa1   2 abb1 1ab ab     2 2 2 2 2 d)χ(λ) =λ(a+b)λa+b1aλ b 01 1 Question 3.Les valeurs propres de l’endomorphismefa,bsont pour tout couple (a, be)d´reesl   2 2 2 2 a) 0, (a+b) , (ab) ,ab   2 2 2 2 b) (a+b) , (ab) ,ba   2 2 2 c)i|a+b|,i|a+b|, (ab) ,ab d) (a+b), (ab), (a+b) (ab) Question 4.L’endomorphismefa,b a) est diagonalisable car ses valeurs propres distinctes sont orthogonales b) est diagonalisable dans une base orthonormale deEdeesvedeetcepsrurpormre´offa,b c)nestpasdiagonalisablecarsesvaleurspropresnesontpastoutesdemultiplicite´1 d) ne peut admettre 0 comme valeur propre carfa,best diagonalisable. Question 5.On supppose dans cette questionaoubnul ; l’endomorphismefa,badmet alors
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Question 6.
Question 7.
Question 8.
Question 9.
Question 10.
a)deuxvaleurspropresdistinctesdemultiplicite´2 b)uneseulevaleurpropredemultiplicite´4 c) 0 pour valeur propre unique lorsquea=b d) quatre valeurs propres distinctes. Onsupposedanscettequestionlesr´eelsaetbnon nuls, l’endomorphismefa,badmet, 2 2 lorsquea=b a) une seule valeur propre triple et une valeur propre simple b) une valeur propre double et deux valeurs propres simples 2 2 et lorsquea6=b c) quatre valeurs propres simples 2 2 d) deux valeurs propres simples et une valeur propre double (ba). La baseBesabhtroseenutedteurevecpresspro´meenoroe´deofmrfa,bpour les couples (a, b) tels que a)a= 0 etb6=0 b)a=b= 0 uniquement c)a6=0 etb6=0 d)b= 0 etaquelconque Une base orthonormale deEroprurspecteedeve´mrofseedfa,bfalallmiu´itdeeenotssecte de vecteurs (ε1, ε2, ε3, ε4d´enispra:) a)ε1= (1,1,1,1) ;ε2= (1,1,1,1) ;ε3= (0,1,1,0) ;ε4= (1,0,0,1) pour tout couple 2 2 2 (a, b)Rtel queab6=0 eta6=b 1 1 1 1 b)ε1= (1,1,1,1) ;ε2= (1,1,1,1) ;ε3=(0,1,1,0) ;ε4=(1,0,0,1) 2 2 2 2 2 2 2 pour tout couple (a, b)Rtel queab6=0 eta6=b 1 1 1 1 c)ε1= (1,1,1,1),ε2=(0,1,1,0) ;ε3= (1,1,1,1) ;ε4=(1,0,0,1) pour 2 2 2 2 2 tout (a, b)R 1 1 1 1 d)ε1= (1,1,1,1) ;ε2= (1,1,1,1) ;ε3=(0,1,1,0) ;ε4=(1,0,0,1) 2 2 2 2 2 2 2 uniquement pour les couples (a, b)Rtels queab6=0 eta6=b 1 0 12 1 1 21 0 La matriceP´deinpera:P=   2 121 0 1 0 1 2 a) est une matrice orthogonale b) n’est pas une matrice orthogonale   2 (a+b0 0) 0 2 0 (ab) 0 0 1   c) est une matrice de passage telle queP Ma,bP=2 2   0 0ab0 2 2 0 0 0ab d)estunematriceinversibleetsyme´trique. SoitQunemcesyatriuqirte´mogohtroentdolenaonolscleenssnodtseevtcuersdelendomor-  1 1 1 1 111 1   phismefa,bde la formeQ=c   11α γ 1 1γ β on a alors
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Question 11.
Question 12.
Question 13.
Question 14.
a)α;= 1 β=γ=1 etcconqquele´leuer 1 b)α=γ= 1 ;β=1 etc= 2 1 c)α;= 1 β=γ=1 etc= 2   2 (a+b) 0 0 0 2 0 (ab0) 0   d)QMa,bQ=2 2   0 0ba0 2 2 0 0 0ba On suppose dans cette question|a| 6=|b|. SoitVun vecteur deEde composantes (v1, v2, v3, v4) dans la baseB; le vecteurXdeEtel quefa,b(X) =Va pour composantes dans la baseB le 4-uplet (x, y, z, t:ipar´)edn   1 2 2x=a v1+abv2+abv3+b v4v1 2 x= 2 2 (ab) 2 (a+b)   1 v2 2 2 y=abv+a v+b v+abv42 1 2 3y= 2 2 (ab) 2 (ab) a) b) 1v3 2 2 z= z=abv1+b v2+a v3+abv4 2 2 2 2 2 ab (ab) v4   1t= 2 2 2 2 t=b v1+abv2+abv3+a v4ab 2 2 2 (ab) et la matrice Com (M) ayant pour coefficients les cofacteurs des coefficients deMre´vie 1 c) Com (M) = (detM).M   2 2 aabab b 2 2   2bab a ab 2 2 d) Com (M) =ab 2 2   aab b ab 2 2 babab a On noteMl’ensemble des matricesMa,bdes endomorphismesfa,bbalasepoap`artrrapB 2 lorsque les couples (a, bentcriv)d´eR. SoientMa,betMa ,b2 matrices deM 0 0 0 0 0 0 a)Ma,b+Ma ,b∈ Mb)Ma,bMa ,b=MA,B∈ MavecA=ab+baetB=aa+bb 0 0 0 0 0 0 0 0 c)Ma,bMa ,b=MA,B∈ MavecA=aa+bbetB=ab+ba 0 0 d)Ma,bMa ,b/M 0 0 SoitPa,bneip,uoˆnmodee´ple(rtoutcouontilypolancfoa, brap)slee´redPa,b(x) =a+bx.   n 2 Le resteRn(x) de la division euclidienne de (Pa,b(x)) parx1 est pour tout entiern>2 d´enipar: n n n n a)Rn(x) = (ab() + a+b[() + ab)(a+b) ]x 1 1 n n n n b)Rn(x) = [(ab)(a+b) ] + [(ab() + a+b) ]x 2 2 et on a n c)M=M1n n1n n a,b[(ab)(a+b) ],[(ab) +(a+b) ] 2 2 n d)M=Mn n n n 1 1 a,b[(ab) +(a+b) ],[(ab)(a+b) ] 2 2 Onsupposedore´navantlendomorphismefa,be´isotdnuoojngtenonbtifeijecarspurMa,bla matrice defa,bdans la baseB. Le rang defa,best : a) 1 car les quatre colonnes deMa,bselagneo´st
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