ENAC 2004 icna epreuve optionnelle classe prepa mp

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La calculatrice est autorisee.Questions liees : 1 a 7; 8 a 27; 28 a 32; 33 a 40PARTIE In etant un entier naturel et a un nombre reel non nul on pose :Z Z ax axu = e cosnx dx et v = e sinnx dxn n0 01 - u veri e pour tout n∈N :n1 axu = [e sinnx] pour n> 0n 0ana) et1 a u = (e 1)0ah i 21 n naxb) u = e cosnx sinax + un n2a a a01 axc) u = [e (acosnx+nsinnx)]n 02 2n +a1n a d) u = (( 1) e a a)n 2 2n a2 - v satisfait pour tout n∈N :n1 axa) v = [ e cosnx]n 0anh i 21 n naxb) v = e cosnx+sinnx vn n2a a 0 a1 axc) v = [e (ncosnx asinnx)]n 02 2n a1 n+1 a d) v = ( 1) ne +nn 2 2n +a3 - La valeur absolue de u est pour tout n∈N majoreee par :na |a| |a|(1+e )a) b)2 2 2 2n +a |n a |et celle de v est majoree par :na a n(1 e ) 1+ec) d)2 2a +n an4 - La suite (v ), k∈N , est equivalente a la suite de terme general :2ka 1 1+e 1 1a a) (1 e ) b) c) d)2k k 2k k5 - a) Les suites (u ) et (v ) ne peuvent ˆetre convergentes car elles ne sont pas de signen nconstant.b) Les suites (u ) et (v ) convergent car toute suite majoree est convergente.n nc) La suite (u ) converge vers 0nd) La suite (u ) diverge car la suite (cosnx) n’a pas de limitenP POn note u (respectivement v ) la serie numerique de terme general u (respectivementn n nv )nP6 - a) La serie v converge car lim v = 02k 2kk→+∞a P P (1 e )b) La serie v est de mˆeme nature que la serie convergente2k2kPc) Laserie v diverge ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Lacalculatriceestautoris´ee. Questionsli´ees:1`a7;8`a27;28a`32;33`a40 PARTIE I netel´etentnnauttarueinrannu´eerbromlunnonle:esopno Z Z π π ax ax un=ecosnxdxetvn=esinnxdx 0 0 1 -uneirruoputtoe´vnN: 1 π ax un= [esinnx] pourn >0 0 an a) et 1 u0= (e1) a h i2 π 1n n ax b)un=ecosnxsinax+un 2 a a0a 1 π ax c)un= [e(acosnx+nsinnx)] 0 2 2 n+a 1 n aπ d)un= ((1)e aa) 2 2 na 2 -vnsatisfait pour toutnN: 1 π ax a)vn= [ecosnx] 0 an h i2 π 1n n ax b)vn=ecosnx+ sinnxvn 2 a a0a 1 π ax c)vn= [e(ncosnxasinnx)] 0 2 2 na   1 n+1d)vn= (1)ne+n 2 2 n+a 3 -La valeur absolue deunest pour toutnN:eparr´eemajo |a| |a|(1 +e) a) b) 2 22 2 n+a|na| et celle devnste:rapeer´joma aπ aπ n(1e+) 1e c) d) 2 2 a+n an 4 -La suite (v2k),kNt´esuieqlevae`ntsalaetiuetedgemr:relae´´n, 1 1+e1 1 a) (1ec) d)) b) 2k k2k k 5 -suites (a) Lesun) et (vnisedengnosesaptep)nrtcenoevueevtneˆarellesnrgentesc constant. b) Lessuites (un) et (vngrnenoevet.majouiteestcr´eectnegrevsetuotraon)c c) Lasuite (un) converge vers 0 d) Lasuite (un) diverge car la suite (cosnx) n’a pas de limite P P On noteun(respectivementvneg´etermuedeeriqun´mreeial´s)re´nlaun(respectivement vn) P 6 -Laa)´sreeiv2kconverge carlimv2k= 0 k+P P(1e) b)Las´eriev2kenetaruqetsedˆmmecoieernvlaueers´tnege 2k P c)Las´erievndiveemdsemoocmmgr,egeerivedri´eesuneire´senudteetnocvnreegtn.e
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n+1P(1)e d)Lase´rievnconverge carvnivqu´esteeireudl´seng´en´era,termelane`ta n convergente. P1 7 -a)ise´eLraunest convergente carunlentuiva`aqe´tse 2 n P b)Lase´rievnonvergenteattlsen´erdoeenencutperteˆsbaemuloctne P c)Las´erieunest absolument convergente car|un|nee´em´gtereaplr´eorajtmesral A dunes´erieconvergentedelaforme 2 n P d)Las´erieunest divergente. PARTIE II 1 Soitfui`alafonctionqxou`associe ,u´xl.erembeer´stenoun 1 +ucosx 8 -La fonctionfest continue a) surRpour toutu]1,1[ b) sur[0, π] pour toutu[1,1] c) sur[0, π] pour toutuR d) seulementsur ]0, π[, pour toutu]1,1[ 9 -Pouru=1, la fonctionfival´equauvoenteetsontincdeganisiofala`0ef1 1 2 a)f1(x) =b)f1(x) = 2 x x et pouru= 1, la fonctionfuivalentest´eqanegedaevuioisπni`octonafalf2 2 2 c)f2(x) =d)f2(x) = 2 (xπ)πx Z π 10 -intLlaee´rgf(x) dxest : 0 a) improprepour toutu[1,1] b) nonimpropre,u[1,1] c) impropre,uniquement pouru=1 d) improprepouru[1,1] tel que|u|= 1 α 11 -La fonction (xπ) ,avecαr´ee,l a)estinte´grablesur]0, π[ pourα >1 b)nestpasinte´grablesur]0, π[ pourα >1 Z π etlinte´gralef(x) dx, lorsqu’elle est impropre est 0 Z Z b π c)convergentecarlesdeuxinte´gralesf(x) dxetf(x) dxsont divergentes, 0b b]0, π[ d) divergente Z π Onconside`relafonctiongq`auiuecisoa´seelrg(u) =f(x) dxleesegraint´etteceuqsrol,t 0 convergente. 12 -La fonctionge:d´stineruse a) ]1,[1[ b)1,[1] c)1,1]\ {0}d) ]1,1] 13 -egnahceLavedtnemd´leabrirpaniet= tan(x/2) donne
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Z +2 dt a)g(u) = 2 t+ 2tu+ 1 0 Z π dt b)g(u) = 2 (1u) + (1 +u)t 0 et la fonctiong´esitcr π c)g(u) =pour toutu]1,1[ 2 1u π|u| si 0<|u|<1 2 u1u d)g(u) = et πsiu= 0 1 Soithla fonction telle queh(x) =ou`λeeoenblmtesr´nur 2 λ2λcosx+ 1 2 14 -rtnieLe´degrcondduseˆomeX2Xcosx+ 1 a) eststrictement positif pourx[0, π],XR b) eststrictement positif surR, pourx]0, π[ uniquement c) admetune racine double 1 pourx= 0 d)eststrictementne´gatifsurRpourx[0, π] 15 -La fonctionhest a) continuesur [0, π] pour toutλ´rlee b)inde´nimentde´rivablesur[0, π] pour toutλuqetlle´ree|λ|<1 et la fonctionx7→h(x) cosnx,nNraegeblst,et´in c) sur[0, π] pour toutλr´eel d) sur[0, π] pour toutλeuqlelteer´|λ|<1. Z π Onconside`relasuite(In)nNdte´gnereemra´elIn=h(x) cosnxdxl,qsroeceutteint´egrale 0 existe. 16 -I0est : a)strictementpositifb)strictementne´gatif et on a pour toutnN c)I06In6I0d)I0< In< I0 17 -I0peut s’exprimer sous la forme :    2λ1 2λ1 a)I0=gb)I0=g 2 22 2 1 +λ1 +λ1 +λ1 +λ π π c)I0= d)I0= 2 2 1λ λ1 2 18 -ˆnylsemoseniopudLeacsrX2Xcosx+ 1sont, pour toutxle:re´ ixix a)eeteoˆnylopelracselleer´b)seemca`tceotnei´esrsel 2 1X etlad´ecompositionen´ele´mentssimplesdelafractionrationnelle 2 X2Xcosx+ 1 se´crit: 1 11 1 c) +d)1 ++ ixixix ix 1Xe1Xe1Xe1 +Xe 1 19 -La fraction rationnellepeut se mettre sous la forme : ix 1Xe n1n inx PX e p ipx a)X e+ ix p=01 +Xe
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n P p ipx b)X e p=0 2 1X et la fraction rationnellesous la forme : 2 X2Xcosx+ 1 n P p c) 2Xcospx p=0 n1 P2 cosnx2Xcos (n1)x p n d) 2Xcospx+X 2 X2Xcosx+ 1 p=1 2 1λ 20 -La fonctionkravaledleel´eerbliaλd´,peraeink(λ=)pseu´tecriresous 2 λ2λcosx+ 1 la forme : Z π n P p a)k(λ) = 2λcospxdx p=0 0 Z π n1 P p n b)k(λ) = 2λcospxdx+ 2λ(InλIn1) p=1 0 et la suite (In)nNallbeercn,eavnoitalerruce´redvlaeri´enN: π n c)λ(InλIn1) = 2 d)In=λIn1 21 -eng´ra´eetLmeerlIntoutpourrit,´ectiseetuscetednN: n λ π a)In= 2 λ1 ( )   2q q1 λ ππP1 1 2p I2q= +λ+ +1 + 2 2p2q 1λ2λ λ p=1 ( ) b)  2q+1q1 λ ππP1 1 2p+1 I2q+1= +λ1 ++ + 2 2p+1 2q+1 1λ2p=1λ λ et la suite (In)nNa pour limite` π c)`d)= 0`= 2 1 22 -La fonctionhrapeine´d,h(x) = 2 λ2λcosx+ 1 a) estpaire etπp-e´ee´rltoutpouriqueriodλtel que|λ|<1 b) est2πapripeuoqieutemielrtoutr´e´e-podriλ c) est,pour toutλeel2r´πeriapmnistesniienirpareoi-´pmeiaiduq d)nestpe´riodiquepouraucunevaleurdur´eelλ 23 -La fonctionh a)nestde´rivablesurRelur´eeurdvelacunuuoarpλ b)estinde´nimentde´rivablesurRtourpotu´reelλ 0 etsad´eriv´eehsielleex,irce:tetsi´s, 2λsinx 0 c)h(x) =2 2 (12λcosx+λ) 2 (cosxλ) 0 d)h(x) = 2 2 (λ2λcosx+ 1) 24 -leabpplove´etdoieiruoFedeire´snePournotcoisnqrunufe a) ilsuffit qu’elle soit continue b)ilsutquellesoitp´eriodique
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