ENAC 2004 recrutement d eleves pilote de ligne mathematiques

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6Question li´ees : 1 `a 18; 19 `a 22; 23 `a 29; 30 `a 32- PARTIE I -Pour n∈N, on d´efinit la fonction f par :n∗f :R →Rn +nx lnxsi x=12x7→f (x) =n x −1k si x = 1nou` k est un r´eel fix´e et ln d´esigne la fonction logarithme n´ep´erien. On notera C la courben nrepr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e. n d´esignera un entier naturel dans cette partie.nQuestion 1 : Le d´eveloppement limit´e de la fonction ln(1+x) a` l’ordre 3 au voisinage de 0 s’´ecrit, εd´esignant une fonction telle que limε(x) = 0x→02 3 2 3x x x x3 3a) 1+x− + +x ε(x) b) x+ + +x ε(x)2 3 2 32 3 2 3x x x x3 3c) x− + +x ε(x) d) x− + +x ε(x)2 3! 2 31Question 2 : Le d´eveloppement limit´e de la fonction `a l’ordre 2 au voisinage de 0 s’´ecrit, ε2+ud´esignant toujours une fonction telle que limε(u) = 0u→02 2u u 1 u u2 2a) 1− + +u ε(u) b) + + +u ε(u)2 4 2 4 82u u 1 u2 2c)− + +u ε(u) d) − +u ε(u)4 8 2 4Question 3 : Le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction f au voisinage de 1 est alors, ε ´etant0 0une fonction v´erifiant limε (x) = 00x→1x−1 52 2a) 1− + (x−1) +(x−1) ε (x)02 121 x−1 52 2b) − + (x−1) +(x−1) ε (x)02 2 1221 2x−1 10x −9x+3 2c) − + +x ε (x)02 4 241 x 52 2d) − + x +x ε (x)02 2 12Question 4 : Pour tout entier n strictement positif, on a∗ n ∗a) f (x) =f (x) ∀x∈R b) f (x) =x f (x) ∀x∈Rn 0 n 0+ +net le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction x au voisinage de 1 s’´ecrit, εd´esignant une fonction telle que limε(x) = 0x→1n(n−1) 2 2c) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Questionli´ees:1`a18;19a`22;23`a29;30`a32 - PARTIE I -PournNlafonitonnctio,e´dnfnpar : R fn:R+ n xlnx six6=1 2 x7→fn(x) =x1 knsix= 1 ou`knlexe´teseutrne´nelafonclnd´esightir´nemnoitagolnn.Oerot´eepenriaCnla courbe repr´esentativedefnohtroere`pernusnda.´ermnonnadltecsapeteitrunratiennaerretu.neigesd´ Question 1 :+1(folade´elnontincevolppmeneltmitiLed´exla`)a3erdro,tceirsinauvoi0s´gedeε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x0 2 32 3 x xx x 3 3 a) 1+x+ +x ε(x) b)x+ + +x ε(x) 2 32 3 2 32 3 x xx x 3 3 c)x+ +x ε(x) d)x+ +x ε(x) 2 3!2 3 1 Question 2 :aue2droraginisvoe´s0ede,tircltolpipme´emveendeLleadit´eitnoofcna`lε 2 +u d´esignanttoujoursunefonctiontellequelimε(u) = 0 u0 2 2 u u1u u 2 2 a) 1+ +u ε(u) b)++ +u ε(u) 2 42 48 2 u u1u 2 2 c)+ +u ε(u) d)+u ε(u) 4 82 4 Question 3 :tcnonoievd´Letnilim´tlepoepemre2delafe`alordf0au voisinage de 1 est alors,ε0ntta´e une fonctionire´vtnalimε0(x) = 0 x1 x1 5 2 2 a) 1+ (x1) +(x1)ε0(x) 2 12 1x1 5 2 2 b)+ (x(1) +x1)ε0(x) 2 2 12 2 1 2x1 10x9x+ 3 2 c)+ +x ε0(x) 2 424 1x5 2 2 d)+x+x ε0(x) 2 2 12 Question 4 :Pour tout entiernstrictement positif, on a na)f(x) =f(x)xRb)f( n0 +nx) =x f0(x)xR + n etled´eveloppementlimite´`alordre2delafonctionxgena1sdeuvasioice´,tirε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x1 n(n1) 2 2 c) 1+nx+x+x ε(x) 2 n(n1) 2 2 d) 1+n(x1) +(x(1) +x1)ε(x) 2 Question 5 :PournN`elaim´tera2odrsinauvoi1delgedeoitcnofael,nevd´opelmepelintfnest alors, aveclimεn(x) = 0 x1 2 1n1 3n9n+ 5 2 2 a)(x1) +(x1) +(x1)εn(x) 2 212 2 n1 3n9n+ 5 2 2 b) 1+ (x(1) +x(1) +x1)εn(x) 2 12 2 1n1 3n+ 9n+ 5 2 2 c) +(x1) +(x(1) +x1)εn(x) 2 212 1
2 1n1 3n9n+ 5 2 2 d) +x+x+x εn(x) 2 212 Question 6 :Pour que, pour toutnN, la fonctionfnsoit continue surRil faut poser : + n1 1 a)kn= 1b)kn= c)kn= d)kn=2 22 Onsupposedore´navantqpournentier ueknprend une valeur rendantfncontinue surR+, naturelx´e. Question 7 :Pour tout entiern, la fonctionfn a)nestpasd´erivableen1 b)estd´erivableen1cartoutefonctioncontinueenunpointx0elbavire´dtseenx0 c)estd´erivableen1puisquefnde´tdrotnemimilelevpeopetdmd´una1nere1 n1 0 d)estde´rivableen1etapourde´rive´ef, car toute fonction admettant un(1) = n 2 d´eveloppementlimite´dordrenen un pointx0eadroerddunreei´ve´nenx0,nN. Question 8 :delationequaL´a`neetatgnCnonrdeen´tdinooecuaop1(s, knpourtoutce´,tirs)nN, y=hn(x) avec pour toutxR n1 1n1 1 a)hn(x) =(xb)1) +hn(x) =(x1) + 2 22 2 n1n n1 1 c)hn(x) =xd)+ 1hn(x) =x+ 2 22 2 Question 9 :Pour toutnN, la fonctionfnhnest au voisinage de 1 du signe deQ(no`u)Qest la fonctionpolynoˆmed´eniesurRpar 2 3 a)Q(x) = 3x9xb)+ 5Q(x) = 3x+ 9x+ 5 5 2 c)Q(x) =3x+ 9x5 d)Q(x) = 12 Question 10 :ynˆomecotniaofnpLolQ a)nadmetpasderacinesre´elles b)admetne´cessairementdesracinesr´eellespuisquelleest`acoecientsr´eels √ √ 9+ 2121 9 c)admet2racinesre´ellespositivesx1= etx2= 6 6 √ √ 921219 + d)admet2racinesr´eellesne´gativesx1= etx2= 6 6 Question 11 :Au voisinage du point d’abscisse 1, la courbeCnreste : a) pourtoutnN, au dessus de sa tangente carQ(n)>0nN b) pourtoutnN, au dessous de sa tangente carQ(n)<0nN c) pourtout entiern>2 au dessus de sa tangente et au dessous pourn61 d) pourtoutnN\ {1,2}au dessus de sa tangente et au-dessous pourn∈ {1,2} Question 12 :On a pour toutxR\ {1}: + 2 2 x12xlnx1 0 0 a)f(x) =b)f(x) = 0 0 2 22 x(x1) 2x et pour toutnN 0n2 c)f(x) =x(nlnx+ 1) n n+1n1 x(1 + (n2) lnx)x(1 +nlnx) 0 d)f(x) = n 2 2 (x1) Question 13 :La fonctionfn: n a)estprolongeableparcontinuite´en0par0pourtoutnNcar limxlnx= 0 + x0 b)estprolongeableparcontinuit´een0uniquementpournentier strictement positif
2
c)nestprolongeableparcontinuite´en0pouraucunevaleurdelentiern d)estprolongeableparcontinuite´en0uniquementpourn>2 fn(x)fn(0) Question 14 :La fonctiontn(x0n:roadeeitmilie`uta,eiruopdtsene´squelle,lor=) x a) limtn(x) = 0nNb) limt1(x) = ++ + x0x0 et la courbeCnadmet c) unedemi-tangente horizontale en (0,0)nN d) unedemi-tangente horizontale en (0,0) pourn>2 et une demi-tangente verticale au point d’abscisse 0 pourn∈ {0,1} Onconside`relesfonctionsϕ:, par 0ϕ1etϕ2einseusr´dR+ 1 ϕ0(x) = 1− −2 lnx 2 x 2 x1 ϕ1(x) =lnx 2 x+ 1 2 ϕ2(x) =x12 lnx Question 15 :La fonctionϕ0 1 0 ∗ a)apourd´erive´elafonctionϕ(x) =− ∀xR 0 + x   2 2x1 0 ∗ b)apourde´riv´eelafonctionϕ(x) =xR 0 + 3 x c) atteintson maximum au pointx= 1 d) atteintson minimum au pointx= 1 Question 16 :La fonctionf0 a)estde´croissantesurRntd´ecrotrictemeetsapssmiansassietn + x ∗ 0b)eststrictementd´ecroissca)<0xR\ {1}et ante surR+rf0(x) =ϕ0(x+ 2 2 (x1) 1 0 f(1) =0 2 c) eststrictement croissante surR + et la courbeC0admet d) lesdroitesx= 0 etylim= 0 pour asymptotes carf0(xlim) = 0 etf0(x) = +x0x+Question 17 :On a :   2 2 x1 0 ∗ a)ϕ(x) =xRb) limϕ1(x) =−∞ 1 2+ 2x+x(x+ 1) c) limϕ2(x) = +d)ϕ2(x)60xR + x+si estpossi Question 18 :La fonctionf1olonpr`ag´eeR+ble,, cela a)estd´ecroissantesur[0,1] et croissante sur [1,+[ b) estpositive surR+car croissante surR+et nulle en 0 et la droiteOyest c) directionasymptotique de la courbeC2 d)asymptotea`lacourbeC1 - PARTIE II -3 Racesinona`e´abalequseoptrrtpaB= (e1, e2, e3) avece1= (1,0,0) ;e2= (0,1,0) ete3= 3 3 (0,0,re`disnocnO.)1efl’endomorphisme deRturta`otqiut(iplex, y, z)Rassocie le triplet ((b+c)x+ (ca)y+ (ba)z,(cb)x+ (a+c)y+ (ab)z,(bc)x+ (ac)y+ (a+b)zu`)o a,b,cs.2se´rnodtstdilsee`as2ctin
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