ENAC icna epreuve optionnelle 2001 pc icna epreuve optionnelle classe prepa pc

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ICNA - SESSION 2001 - PHYSIQUE ÉPREUVE OPTIONNELLE ÉNONCÉ Questions faisant partie d'un même exercice. [1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12] [13,14,15,16,17] [18,19,20,21,22,23] [24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34,35] [36,37,38,39,40] 1. On considère le circuit représenté par le schéma de la figure ci-contre. Les bobines B et B ont la 1 2même inductance propre L. Les condensateurs C et C ont la même 1 2capacité C. Le condensateur C a une capacité C . On désigne par q et q 3 0 1 2les valeurs instantanées des charges des armatures des condensateurs C 1 B B1 2et C reliées respectivement aux bobines B et B . 2 1 2Initialement, les condensateurs C et C sont déchargés et l'armature du 1 2 C3condensateur C reliée aux deux bobines B et B porte la charge Q . 3 1 2 03 q q1 2Écrire les équations différentielles couplées auxquelles obéissent les C C1 2charges q et q . 1 222dq CC++q dq CC q120021a) Lq=0 et L+ q+=0 C CC Cdt dt 0dq q qQQdq q112 031 03b) L e=− t L++= CC C CCCdt dtdqq Q dq CC q Q320103c) Lq = e + q+= 12CCCC CCCCdt dt0dq CCq Q dq CC q Qd) Lq = et L + q+= C C CC C Cdt dt2. Calculer les pulsations propres Ω et Ω < Ω du circuit. 1 2 12C + C C2+C1 10 0a) Ω= et Ω= b) Ω= et Ω= 12LC C LC CLC LC0 0CC+CC+ 1 10 0c) Ω= et Ω= d) Ω= et Ω= LC C LC CLC LC +C0 0 ()0 03. Exprimer qt . ()1QC 2Q C03 03a) qt=−1cosΩt b) qt=−1cosΩt () ()() () ()()1111C2+C CC+0 02Q C QC03 03c) qt1cosΩt d) qt1cosΩt () ()12C2+C C0 04. Exprimer qt . ()22Q C 2Q C03 03a) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ÉNONCÉ
Questions faisant partie d'un même exercice.
[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12] [13,14,15,16,17] [18,19,20,21,22,23] [24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34,35] [36,37,38,39,40]
1. considère le circuit représenté par le schéma de la figure ci-contre. Les bobines B On1et B2ont la même inductance propre L. Les condensateurs C1 et C2 la même ont capacité C. Le condensateur C3a une capacité C0. On désigne par q1et q2les valeurs instantanées des charges des armatures des condensateurs C1et C2reliées respectivement aux bobines B1et B2.B1B2 Initialement, les condensateurs C1 C et2 déchargés et l'armature du sontC condensateur C3reliée aux deux bobines B1et B2porte la charge Q03.3 Écrire les équations différentielles couplées auxquelles obéissent lesq1C1C2q2 charges q1et q2. + + a) L d2q21+CC00qCC1+qC02=0 et L d2q22+C00Cq2+q01=0 dt dt C C C b) L d2q21+q1+q2= −Q03 L d et2q22+q2+q1=Q03 dt C C C dt C C C d2q12C+C1q2 dQ et2q22C+C2q1Q c) L dt+0C0qC+C0=C300 dt L+0C0Cq+C0=C030Ldd2tq1+CC+qCC+Cq2=QC3dteLd2qt2+C0C+CqC+Cq1=CQ03d)122200 0 0
2. les pulsations propres Calculer1et2<1du circuit. a)Ω =2C0+CetΩ =1b 1 2 LC0CCL)1=LC0C+0tC2Ce2= Ω = + Ω =0 c)1CL0C0CCet2CL10d)1=CLC+0CCet2=
3. Exprimer q1(t). a) q1(t) =C0Q03C12Ccos(Ω1t)+ c) q1(t) =2Q031Ccos(Ω2t)C0+2C
4. q Exprimer2(t). a) q2(t) =C20Q0+31CCcos(Ω1t)c) q2(t) =Q031Ccos(Ω2t) C0
1 LC 1 L(C0+C)
b) q1(t) =C20Q0+3C1Ccos(Ω1t)d) q(t) =CQ3001Ccos(Ωt)1 1
b) q2(t) =2Q031Ccos(Ω2t)C0+2C d) q2(t) =QC00+3C12Ccos(Ω1t)
5. Si Q0parmi les valeurs initiales proposées ci-dessous quelle(s) estreprésente une charge donnée, (sont) celle(s) qui correspond(ent) à l'excitation du mode propre de pulsation1?
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a) Q01= −Q0Q02=0 Q03=Q0c) Q01=Q0Q02=0 Q03=Q0
b) Q01=0 Q02=0 Q03=Q0d) Q01=Q0Q02=Q0Q03=0
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6. est (sont) celle(s) qui correspond(ent) à l'excitation du mode propre de pulsation Quelle(s)2? a) Q01=Q0Q02= −Q0Q03=0b) Q01=Q0Q02= −Q0Q03=Q0c) Q01=Q0Q02=0 Q03=Q0d) Q01=0 Q02= −Q0Q03= −Q0
7. bobine B d'inductance propre L et de résistance r est Une placée dans la branche ab du pont de mesure représenté sur leb schéma de la figure ci-contre. Le pont est alimenté entre les points a et c par un générateur de tension sinusoïdal idéal de QB r force électromotrice e(t) et de fréquence f = 1000 Hz. Les branches ad et bc sont constituées de résistors parfaits de résistances respectives P et Q.L La branche cd est constituée d'un résistor de résistance R et d'un ca D condensateur de capacité C, tous deux réglables et branchés enC dérivation.mDaesnusrelaladidaigffoénraelnecebdd,eupnotevnotlitemlètrUe=DdVi'mVdterepptdeémnaeecdinfiniePR détecter l'équilibre du pont défini par la condition U = 0. L'équilibre du pont est réalisé pour les valeurs suivantes desd éléments réglables :e(t) P = 100, Q = 200, R = 2300, C = 2,080µF. Calculer L. a)L = 37,2 mHb)L = 53,7 mHc)L = 41,6 mHd)L = 8,4 mH 8. r. Calculer a)r = 8,7b)r = 12,3c)r = 17,6d)r = 52,19. Deux bobines B1 et B2 de résistances négligeables et d'inductances propres respectives L1 L et2sont connectées en série et couplées par mutuelle induction. On désigne par M lavaleur algébriquede l'inductance mutuelle. Ce circuit est placé entre les bornes ab du pont en remplacement de la bobine B. Dans une première étape, on couple les bobines de façon à ce que le flux propre et le flux dû au couplage à travers chacune des bobiness'ajoutent. La mesure de l'inductance propre Lede la bobine équivalente donne la valeur Le = 20,8 mH.Sans modifier la position relative des deux bobines, on les couple maintenant de façon à ce que le flux propre et le flux dû au couplage à travers chacune des bobines s'opposent ' L. La mesure de l'inductance propree de la bobine équivalente donne la valeur L 'e= M de l'inductance mutuelle des deux bobines.14, 4mH . En déduire la valeur absolue a) M=1, 6mHb) M=12,1mHc) M=3, 7mHd) M=4, 2mH
10.Sans modification de leur position relativeles deux bobines sont maintenant connectées en, parallèle. Exprimer l'inductance propre L"ede la bobine équivalente en fonction de L1, L2et de lavaleur algébriquede M. )" L1L2b) L"e=LL1L2L+M22M aL= eL1+L2+2M1+2+ 2L LM2 c) L"e=L1LL12++L42Md) L"e=1+2L2M L1 2
11.le flux propre et le flux de couplage à travers les bobines sont couplées de façon à ce que  Lorsque les bobiness'ajoutent, on mesure L"e=5,1mH . Calculer L1> L2. a) L1=18, 2mHb) L1=10mHc) L1=8mHd) L1=15, 7mH 12. Calculer L2< L1. a) L2=7, 6mHb) L2=3,8mHd) L2=4, 2mHd) L2=5, 9mH
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13. cylindre C, de centre G, d'axe horizontal Gz, de masse m et de rayon a, roule sans glisser sur Un un guide circulaire S fixe de centre O, d'axe horizontal Oz et de rayon R. La position du centre G du cylindre est repérée par l'angle orientéOeθ θ = (Ox,OG). On définit également un angleezer orientéϕ = (Gx,GJ) amenant la verticale Gx en sur une direction fixe GJ de C.gθC Montrer que la condition de roulement sansR G J glissement de C sur S impose entreθ =tddθ etSϕ ϕ=dtdtaoin:alrleI x  a)ϕ=Raθb)ϕ=aaRθx c)=ϕa+Raθd)ϕ=aRθ
14. J donne le moment d'inertie On=a2m12 de C par rapport à l'axe Gz. Exprimer le moment cinétiqueL(I, C /R)du cylindre par rapport au point géométrique de contact I de C sur S. a)L(I, C /R) =a2m32ϕezb)L(I, C /R) =1ma22θezc)L(I, C /R) =ma2ϕezd)L(I, C /R) =52am2ϕ+ θez
15. Dans ce cas, le théorème du moment cinétique s'applique au point mobile I comme en un point fixe. Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit l'angleθ et en déduire la période T0 petites des oscillations de C autour de sa position d'équilibre stable. a) T0=2πR2+agb) T0=2π5R2c) T0=2πa2gd) T0=2π3(2Rga)g 3
16. On désigne respectivement parT=TeθetN=Nerde la réaction de S sur C les composantes dans la base (er,eθ,ez). Donner l'expression de N dans le cas des petits mouvements. 3 a)= −mg2b) N= −mgθc)= −2gm3θd) N= −mg
17. Exprimer T dans les mêmes conditions. a) T=a3gmRθb) T= −gRm3aθ
c) T mgθ= 3
d)T = 0
18. considère l'écoulement incompressible  Onlaminaire en régime stationnaire d'un fluide visqueux de masse volumiqueρ, de viscosité dynamiqueη, dans un tube cylindrique à section droite circulaire, de longueurAet de rayon R. On négligera les effets de la pesanteur sur l'écoulement. On admettra que le champ des vitesses est de la formev=v(r, z)ezezest un vecteur unitaire porté par l'axe z'z du tube et r repère la position d'un point par rapport à z'z. On notera respectivement p1et p2les pressions en amont (z = 0) et en aval (z =A) du tube et p(z) la pression dans le fluideen tout pointd'un plan orthogonal à z'z à la cote z. L'écoulement étant incompressible, on peut déduire que : a)Le champ des vitesses ne dépend pas de z.b)Le champ des vitesses est uniforme. c) divLa relationv= vérifiée.0 estd)On a nécessairementrot v=0.
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19. Lerayon r est soumis de la part du fluide extérieur à une force fluide contenu dans un cylindre de surfaciqueδF(r)dont la résultante, pour une longueur dz de cylindre, s'écrit : δFr=2πηr dzve( ) ∂rrz v ielle . La quantitérvrla valeur en r de la dérivée partreprésente r En considérant le fluide contenu dans un volume défini par deux cylindres de rayons r et r+dr et deux plans de cotes z et z+dz, déterminer l'expression de laforce volumiquede viscositéfv. a)fv=ηrrvrezb)fv= ηrrrrvezc)fv=rη2(rr2v)ezd)fv=rη2rr2vrez
20.pression p à la vitesse v. déduire l'équation aux dérivées partielles liant la  En a)zpη=rrrvb)pz=rη2rr2rvr)c)zp= −rηr22vd)pz=rrrrv
21. la loi d'évolution p(z) de la pression p en fonction de z. Exprimer a) p(z=)p2Ap1z2+p1b) p(z=)p2Ap1z+p1c) p(z)=p2Ap1z+p1d) p(z) =2p2Ap1z+p1
22.en fonction de r sachant que la vitesse du fluide est la loi d'évolution v(r) de la vitesse v  Exprimer nulle sur les parois du tube. a) v(r=)p14ηAp2R2r2b) v(r=)p12ηAp2R2+r2 c) v(r=)p1ηAp2R2+r2d) v(r) =4p1ηAp22R2r2
23. le débit volumique Q du fluide. Calculer a) Q= (p12ηAp2π)R2b) Q= (p1ηAp2)2πRc) Q=p1ηAp22)πR4d) Q= 4
p1p2)πR4 8ηA
24. système optique est constitué d'une lentille mince Un convergenteLde centre optique O, de distance focale imageLM f ' et d'un miroir plan M disposé en arrière deL, orthogonalement à son axe optique et à une distance OS=d=50cm (voir figure ci-contre).AoFoOFiS Un objet ponctuel Ao est placé initialement au foyer de la lentille. Trouver la position OAi1de l'image Ai1qu'en donned le système. a) OAi1= −f 'b) OAi1=2f ' c) OAi1=dd) OAi1=d / 4 25. est maintenant placé au point A L'objeto2 de S conjuguépar rapport à la lentille. Trouver la position OAi2de l'image Ai2qu'en donne le système.
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a) OAi2=OFo
b) OAi2=OFi
c) OAi2=OS
d) OAi2=OAo2
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26. de ' f Calculer la distance focale imageL Asachant quei2Ai1= ∆ =25cm . a) f '=25cmb) f '=15cmc) f '=12cmd) f '=19cm 27. miroir plan est maintenant remplacé par un miroir sphérique Leconcavedont le sommet est placé en S. Lavaleur arithmétique de son rayon de courbure vaut R = 50 cm. L'objetréel placé à une est distance égale à 2f ' du centre optique deL. Quelle doit être la valeur d1 que OS pour la distance de l'image définitive qu'en donne le système soit confondue avec l'objet lui-même et demême sensque lui ? a) d1=2f 'b) d1=f 'c) d1=4f 'd) d1=2R
28. Quelle doit être la valeur d2de la distance OS pour que l'image définitive soitrenverséeet que son plan soit confondu avec celui de l'objet ? a)d2= 75 cmb)d2= 45 cmc)d2= 100 cmd)d2= 125 cm
29. Unea parois adiabatiques est divisée en deux compartiments (1) et (2) par une cloison enceinte diathermaneC munie d'une petite ouvertureF l'on peut ouvrir que ou fermer sans travail. L'enceinte est fermée à l'une de ses extrémités par un piston adiabatiqueP qui peut coulisser mobile(1)F(2) pa sans frottement. Dans l'état initial, l'ouvertureF fermée, le compartiment (1) de estC P volume V1 est vide et le compartiment (2) de volume V2i contient une mole de gaz parfait à la pression atmosphérique pa. Les deux compartiments sont mis en communication. On suppose dans un premier temps que V1est tel que dans l'état d'équilibre final, le piston ne vienne pas en butée surC. On désigne par R la constante des gaz parfaits et parγ =cple rapport des capacités thermiques molaires cV à pression constante cpet à volume constant cVW du piston en fonction de p. Calculer le travail a, V1, V2iet de la température finale Tfdu gaz dans le récipient. a) W=pa(V1+V2i) −RTfb) W=paV1+V2i) +RTfc) W=pa(V1V2i) −RTfd) W=paV1V2i) +RTf
30. Enprincipe de la thermodynamique, en déduire la température finale T appliquant le premier fdu gaz en fonction de pa, V1et V2i. a 2i 1 a) Tf=RVp1γγ+1VVb) Tf=paVR11γγ1VVi212i c) Tf=paVR2i1+VV12iγ −1d) Tf=paVR2i1+γγ1VV12i
31. la valeur V Calculer1mque devrait avoir le volume du compartiment (1) pour que le piston vienne juste en butée sur C. a) V1m= γV2ib) V1mγ=γ1V2ic) V1mγ=γ1V2id) V1m=1γV2i
32. Calculer, dans ce dernier cas, l'entropie produite Sp. a) Sp=(γγ1)nlRγγ1b) Sp=1nlRγγ1c) Sp=γγRln1γ()d) Sp= γR lnγ −1)
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33. On se place maintenant dans le cas où le volume V '1du compartiment (1) est plus grand que le volume V1mcalculé précédemment, de sorte que dans l'état final le piston soit en butée surC. Calculer la température finale T 'fdu gaz en fonction de pa, V2i,γet R. γda 2 = a) T 'f − γ= (1)paRV2ib) T 'f= γpaRV2ic) T 'fγ −1paRV2i)T 'fγγ=R1Vi
34. Exprimer p la pression finale 'fofnezadnoitcnV,paedug2i, V '1etγ. 'γ −1 V a) p 'f= γpaVV2'i1b) p 'f γ −= (1)paVV2'1ic) p 'f=γγ1paVV2'1id) pf=pa 2i γV '1
35. l'entropie produite Calculer ' Sp. 1 a) S 'p= γRnlV 'γ1 γ −1V2i γ −1 c) S 'p= γR lnVV2'1i
b) S 'p=RlnV2'1iγγ1 V=1d) S 'pγRn1lγVV2'i1γ  
36. Uneen spires jointives sur un tore circulaire à bobine est constituée d'un fil conducteur bobiné sectio a et de ci-conntrce).yoneaottrembnoelNrapengisédnOyarmnoaéerredtécôρld(veoisrpifriegsureety par I le courant qui les parcourt. Calculer la norme B du champ magnétique qui règne enI un point P(x,y) quelconque du plan xOy à l'intérieur du tore. a ) B=2πµx02I+y2b) B= µ20πIxP Ox c) B= µ20Id)B=2πµ0x2I+yx2aρ πy 37. l'énergie électromagnétique CalculerEemde la bobine. = µ0NI2aln+ρa0 2I2a a)em E8 ρ −π ab)Eem= µ4πc)Eem= µ04Nπ2I2aln22ρ+aad)Eem= µ0NI2nla8πa 38. Exprimer l'inductance propre L de la bobine. a)L= µ0N2π2anlρ+ρ22ab) L= µ02π2a a dL0N2a 2 a c) L= µ0N4π2anlρ+ρaa)=2πln2ρ+ρa39. On dispose suivant l'axe y'y de la bobine un fil rectiligne que l'on peut considérer comme infini et parcouru par un courant I0. Calculer le fluxϕmagnétique créé par le fil à travers le circuit de ladu champ bobine et en déduire l'inductance mutuelle M entre les deux circuits. a) M= µ02πlnaN22ρρ+aab) M=04Nπ2lna+ρρ2a2a c) M= µ02πlaNnρ+ρaad) M= µ04Nπ2lnaa40. fil est parcouru par un courant i Le0t) =I0cosωt)tandis que le circuit de la bobine est fermé sur un ampèremètre. La résistance totale de ce circuit est alors égale à R.
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