ENSAE 1999 mathematiques classe prepa b/l

Publié par

E.N.S.A.E. 1999. Concours “´economie”PROBLEME 1Noration:Pourdeuxentiersnaturelspetq≥p,onnote[p,q]] = [p,q]∩N,c’est-`a-direl’ensembledes entiers naturels compris, au sens large, entre p et q.∗1)a)Pour tout entier k∈N , ´etablir la formulekXj kC = 2 (1)kj=02N+1Xj∗En d´eduire la valeur, pour N ∈N , de C .2N+1j=N+1rXn−1 nb)Pour tous n∈N, n≥ 2, et r∈N, montrer que : C = C (2)n+rn−1+jj=02)a)Soient n et p deux entiers v´erifiant : 1≤p≤n. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensembleE des suites strictement croissantes `a p ´el´ements dans l’ensemble I = [[1,n]] :E ={(q ,q ,...,q )/1≤q
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 401
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
E.N.S.A.E.1999.Concours´economiePROBLEME 1 Noration :Pour deux entiers naturelspetqp, on note[p, q]] = [p, q]N-`ste,clerid-aelbmesne des entiers naturels compris, au sens large, entrepetq. 1)a)Pour tout entierkNillrteba´,muleafor k X j k C =2 (1) k j=0 2N+1 X j Ende´duirelavaleur,pourNNC ., de 2N+1 j=N+1 r X n1n b)Pour tousnN, n2, etrNC =C (2), montrer que : n1+j n+r j=0 2)a)Soientnetp:t1uediersxentianv´erpn. Rappeler la valeur du cardinal de l’ensemble Edsantes`aentcroistsirtcmeseustisepeblemnselsnadstneme´le´I=[1, n]] : E={(q1, q2, . . . , qp)/1q1< q2< .. .< qpn} Soitr[0, p1]] etk[0, nte´e.D]]leerinrmlanidrace-suosudnsemble1EkdeE constitue´dessuitesstrictementcroissantes(q1, q2, . . . , qp) pour lesquellesqr+1=k+ 1. np+r X p rpr1 End´eduirelaformuleC=CC n knk1 k=r b)uttourseluammoaledmrofntvapoe,irtouies´Ddeiuipr´ec`eredecequNN: N X N k2N SN2 =2= C 2Nk k=0 c)4(c)itnosssu-iedrouvRetrelaerlarrence.ennotnemrrapuce´l`adeaiundisra 3)xdcueasevojruteuoenm`roep,snimu´edrevuorteresedruruedobbnno,sedepUnamate boıˆtesdecachous,unedanschaquepochedesaveste.Initialementchaqueboˆıte,neuve, contientlemˆemenombreN(NN) de cachous. Chaque fois qu’il a envie d’un bonbon, lindividuchoisituneboˆıteauhasard(leschoix´etantinde´pendants)etentireunbonbon. On noteXNnadtertsnalslavarlbai´laeotaederiomunedbronebnsboautreboˆıte lorsqu’il se rend compte que l’une des boˆıtes est vide (on prendra garde que ceci ne se produit pas lorsquiltireledernierbonbon,maisa`latentativesuivante). a)e´laiotaerbaelaviredallaionerlermiD´etXN. Ve´rierquonabienuneloideprobabilit´e. ´ b)Etablir la relation, pour toutk[0, N1]] : 2(Nk)P(XN=k) = (2N+ 1)P(XN=k+ 1)(k+ 1)P(XN=k(5)+ 1) End´eduireque E(XN) = (2N+ 1)P(XN= 0)1 (6) En admettant que  n n n!2(7) n+e q N montrer que :E(XN)2 . π n+c)On appelleYNvalairaederbmonrsnobnobdanttaesns´laelbaepeerotripournanturlevale lautreboˆıtelorsquunepremi`ereboˆıteestvide´e(etnonlorsquonde´couvrequelleestvide). De´terminerlaloideYN. d)tie´balirpboeraleduiEnd´pName`ire`etpaslapr´eenesoirteˆdiveıˆoba`etmirere`equapel ˆetretrouve´evide.
Montrer que : N C 2N1 pN= 2N 2 1 puis,`alaidedel´equivalent(7),quepN∼ √. n+2N π
PROBLEME 2
(8)
Partie 1 Onconsid`erelespacevectorielE=R5[Xge´ua`lanO.5etonmesdynˆospol]deueore´iriefnge´rE1 lensembledespolynoˆmesimpairsdeEetE2ylopsedeapsemoˆnesdirlensemblE.Oegnsi´end k parek, (0k)5eld´eemeisq´ueelaenloanbnatssedcEde sorte queek(X) =X. On nommera pareillement “base canonique” deEl(resp. deE2) la base (e1, e3, e5) (resp. (e0, e2, e4)) deE1(resp.E2). 1)Justifier queE1etE2upsselrintme´eplapse-suootcevsecseuxsontdiaerdseEa-direc,ets`-E=E1E2. 2)a)Montrer que l’applicationσmeˆoyqnuolattpio`uPE2meoˆnylopeleicossaσ(Peni)d´ par 200 0 σ(P)(X) = (X+ 1)P(X)XP(X) (1) d´enitunendomorphismedeE2. b)Donner la matrice deσdans la base canonique (e0, e2, e4) deE2. c)reim´Dteneyoenlraudeσ, ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres. d)σ?est-il diagonalisable 3)a)Montrer que l’applicationsloptoˆnyemqui`atouPE2sacisoepelynolmeˆos(P´de)rinap 200 0 s(P)(X) = (X1)P(x) +XP(X) (2) de´nitunendomorphismedeE2. b)Donner la matrice desdans la base canonique (e0, e2, e4) deE2. c)oyaurlenmineeter´Deds, ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres. d)sest-il diagonalisable? 0 4)ationqui`atoutposndie`erlpalpcicoOnemoˆnylPEynolepel2meˆoicossaXP(X)P(X). a)Montrer que la restrictionfde cette application au sous-espaceE2nlpcitaoinituneapd´eline´airedeE2dansE1. b)noqicsnaseepeursesdectivabeslssednnataoiplicteapeceticedrtamalrenimrete´DE2et E1. c)Montrer quefest un isomorphisme. Partie 2 SoitEun espace vectoriel surRargnep´esi.Ondn´nnoseceriasnemeedtdenimonsiienE1et E2eesorteque-psossuedxusulsieorctveesacd,seriatneme´lppE=E1E2ngperaO.dne´iss un endomorphisme deE2et parfvetiecijdeialennouiiltpapcberiae´nE2dansE1. AxE s´ecrivantx=x1+x2u(,o`x1, x2)E1×E2, on associe 1 F(x) =f(x1) +f(x2) +s(x2) (3) 1)a)Prouver queFest injective. b)Prouver queFest surjective (on ne suppose PAS queEest de dimension finie) et exprimer 1 F(y,)u`oy=y1+y2Eet (y1, y2)E1×E2 2
2)a)On suppose queFadmet une valeur propreλR. Soitx6sseaprroe,i´ocnu0=pruetcev de´compos´eenx=x1+x2o`u(x1, x2)E1×E2. Prouver quex1etx2sont non nuls et que x2est vecteur propre des. b)e´icReuqesopupns,ontmeueoqprsenutemdalleoprer´eevaleurprµ. Prouver queFadmet aumoinsunevaleurproprere´elleλte´D.urenimreurteecnvdereopprFco´iass`eaλen fonction d’un vecteur proprex2des´eci`aossaµ. c)Montrer que siu1, . . . , uksont des vecteurs propres desenepd´ine`aunse´icossatestnad mˆemevaleurpropreµdes, alors les vecteurs propres deFl´essontentcalcue´cemmed´rp ind´ependants. Onsupposede´sormaisEdedimensionnie,etonposen= dimE1 3)a)Justifier que dimE1= dimE2=net dimE= 2n. b)Soientµ1, . . . , µpleel´esrreopprrsuelavselsdistinctesdes. Prouver queFadmet 2pvaleurs propresre´ellesdistinctes. c)Montrer que sisest diagonalisable,Fl’est aussi. Partie 3 1)tteceuqedeirsen`soncandOiostnE=R5[X] et les applicationssetfeitrasdanslapd´enie 1. De´terminerlesvaleurspropresdelapplicationFdantsponorrecd´e(nieanedapslitra.)2e 2):locsucsantdemaladease´decirtbrapeinireappliquerlesre´ustltaps´rcee´nOse´d     0 2–1 0I3   A= rmou`B= 20 1 I3B –2 2 1 etou`I3eunitriclamaigne´dse.3erdrode´t a)Donner les matrices des applicationssetftantdappermets`nuatstateob´rseluseqilplreu la partie 2. b)La matriceA?est-elle diagonalisable
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.