ENSAE 2000 mathematiques classe prepa b/l

Publié par

ENSAECONCOURS D’ENTREE 2000MATHEMATIQUES1Łre Øpreuve (option Øconomique)La clartØ et la rigueur des raisonnements, ainsi que la qualitØ de la rØdaction (prØsentation, lisibilitØ, orthographe) serontdes ØlØments importants d apprØciation des copies.Il est notamment demandØ aux candidats d’encadrer les rØsultats obtenus et de faire appara tre clairement les thØorŁmesutilisØs et les points clØs de leurs rØponses. En particulier pour les questions dont l ØnoncØ fournit la rØponse, le dØtail descalculs ou des justi…cations doit …gurer explicitement sur la copie.PROBLEMEIM (R) dØsigne l’espace vectoriel des matrices carrØes de taille 2 à coe¢ cients rØels.n1. (a) Montrer que l ensemble a b 2C =fM(a;b) = ; (a;b)2R gb aest un sous-espace vectoriel deM (R):2PrØciser sa dimension et en donner une base.On considŁre l applicationC ! C : a bz =a+ib 7! M(a;b) =b aoø a et b dØsigne respectivement les parties rØelle et imaginaire du nombre complexe z:0(b) Montrer que, pour tous nombres complexes z et z deC; on a0 0 ( z +z ) = ( z)+ ( z )0 0 ( zz ) = ( z) ( z )En dØduire quep p(8z 2C)(8p2N) (z ) = ( ( z))(c) L application est-elle un isomorphisme d’espaces vectoriels ?2. (a) Soit 2 [0;2[ et A la matrice cos sinA =sin coskPour k2N; calculer A : Le rØsultat est-il encore valide pour k2Z ?(b) Soit p2N : DØterminer une matrice M 2M (R) telle que2 2 0pM =J; oø J =0 21/33. On considŁre apl plicationR[X] ! R[X]f : 2 00 0P(X) 7! ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 352
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
ENSAE
CONCOURS DENTREE 2000
MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)
La clarté et la rigueur des raisonnements, ainsi que la qualité de la rédaction (présentation, lisibilité, orthographe) seront des éléments importants dappréciation des copies. Il est notamment demandé aux candidats dencadrer les résultats obtenus et de faire apparaître clairement les théorèmes utilisés et les points clés de leurs réponses. En particulier pour les questions dont lénoncé fournit la réponse, le détail des calculs ou des justications doit gurer explicitement sur la copie.
PROBLEME I
Mn(R)désigne lespace vectoriel des matrices carrées de taille2à coe¢ cients réels. 1. (a) Montrer que lensemble aC=fM(a; b) =abb;(a; b)2R2g
2.
(b)
est un sous-espace vectoriel deM2(R): Préciser sa dimension et en donner une base.
On considère lapplication
C! C  :z=a+ib7!M(a; b) =baabaetbdésigne respectivement les parties réelle et imaginaire du nombre complexez: Montrer que, pour tous nombres complexeszetz0deC;on a (z+z0) = (z) + (z0) (zz0) = (z)(z0)
En déduire que (8z2C)(8p2N) (zp) = ((z))p (c) Lapplicationest-elle un isomorphisme despaces vectoriels ?
(a) Soit2[0;2[etAla matrice A=cossnisosnicPourk2N;calculerAk:Le résultat est-il encore valide pourk2Z? (b) Soitp2N:Déterminer une matriceM2M2(R)telle que Mp=J;J=2020
1/3
3. On considère lapplication
R[X]!R[X] f:P(X)7!(1 +X2)P00(X)2XP0(X)
Soitn2NetEn=Rn[X]le sous-espace vectoriel deR[X]constitué des polynômes à coe¢ cients réels de degréinférieurou égal àn: (a) Justier que, pour toutn2N;la restrictionfndefàEnest un endomorphisme deEn: (b) Déterminer le noyau defn:Préciser sa dimension. (c) Déterminer les valeurs propres defnet préciser leur multiplicité. (d) Lendomorphismefnest-il diagonalisable ? (e) Soitp2N un endomorphisme Déterminerun entier xé.gndeEntel que gnp=gngn    gn=fn (gnest composépfois). On pourra utiliser la question 2.b) PROBLEME II
PARTIE A
Pourx2R;on pose
+1 L(x) =Ztxetdt:
0
1. (a) Déterminer le domaine de dénitionDdeL: (b) Prouver que, pour toutx2D; L(x+ 1) = (x+ 1)L(x): (c) CalculerL(n)pourn2N:
2. Prouver que pour toutx >0et2]0;1[, on a x(1+)x Ztxetdt= (ex)xZ(1 +ux)xeudu x(1)x
+1 3. (a) Rappeler la valeur de lintégraleI=Ret2dt: 1 (b) Soit >0et >0:Prouver que xl!i+m10@p12xZxxeu2xd1A=p12u
(1)
(2)
4. (a) Prouver que, pour tout"2]0;1[;il existe un réel02]0;1[tel que, pourbvériantjvj< 0;on ait v22(1 +")6ln(1 +v)v6v22(1") (b) Pour"et0ainsi choisis, en déduire que, pourx >0etuvériantjuj< 0x;on a eu22x(1+")6(1 +ux)ueu6eu2x2(1")(3)
2/3
5. (a) Soitf; g1etg2trois fonctions continues surR:On suppose que les fonctionsg1etg2admettent en +1une limite (nie) quon notera respectivementl1etl2et quil existeX0>0tel que, pour tout x > X0; g1(x)6f(x)6g2(x): Prouver que, pour tout" >0;il existeA2Rtel que
(8x > A)l1"6f(x)6l2+"(4) (b) Prouver lexistence deh02]0;1[tel que, pour touthvériantjhj< h0, on ait p+11h16jhj(5) (c) Soit"2]0; h0[; 0associé à"comme à la question A.4.a) et2]0; 0[: Prouver quil existeB >0tel que, pour toutx > B;on ait x 12"6p21xZ(1 +ux)xeudu61 +"(6) x (On pourra utiliser entre autres la question A.3.b))
PARTIE B 1. Pourx >0;on poses(x) = (x)xp2x: e (a) Pourx >0;on notexla fonction dénie parx(t) =txet:Etudier les variations de la fonctionx surR+: (b) Justier que, pour toutvériant0<  <1;on a 0<(1)e<1et0<(1 +)e<1
(c) Prouver que, pour touttel que0<  <1;lintégrale x(1) J1(x) =s1(x)Ztxetdt 0 tend vers0lorsquextend vers+1:(On pourra utiliser les variations dexsur[0; x(1)]:) (d) Prouver pareillement que, pour touttel que0<  <1;lintégrale +1 J2(x) =s1(x)Ztx+2etdt2t x(1+)
tend vers0lorsquextend vers+1:
2. (a) Montrer enn que, pourxtendant vers+1;on a L(x)(xe)xp2x:
(b) En déduire un équivalent den!
3/3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.