ENSAE 2001 mathematiques classe prepa b/l

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6ENSAE 2001, option ´economie. dur´ee 4 heuresPROBLEME 1On consid`ere les fonctions d´efinies parZ Zx xt tdt√ √f(t) = et F(x) = f(t)dt =3 33 31 1t −1 t −1x x√ √3 3ou` la fonction t7→ t est d´efinie surR (par exemple −8 =−2).L’objet du probl`eme est l’´etude de la fonction F. On note C sa courbe repr´esentative.1) Domaine de d´efinition :´a) Etudier la convergence des int´egrales suivantes (qu’on ne cherchera pas `a calculer) :Z Z Z1 +∞ 00I = f(t)dt, J = f(t)dt, J = f(t)dt0 2 −∞b)Justifier que F est d´efinie sur ]−∞,0[.c) Montrer qu’on peut prolonger la d´efinition de F `a ]0,+∞[ en posant Z Z1 xF(x) = f(t)dt+ f(t)dt pour x> 0 et x = 11 1xF(1) = 0´2) Etude aux bornes :∗a) D´eterminer les limites de la fonction F aux bornes de son domaine de d´efinition D =R .b)Montrer que, pour tout x< 0, on a :Z Z0 x 1F(x)−x = f(t)dt+ g(t)dt, ou`g(t) = −111 1 30x 1− 3tZ 0´c) Etudier la convergence de l’int´egrale K = g(t)dt−∞En d´eduire l’allure de la courbe C de F pour x→−∞.d)Faire une ´etude analogue en +∞.3) Variations :0a) Justifier que la fonctionF est d´erivable surD =]−∞,0[∪]0,1[∪]1,+∞[. Calculer sa d´eriv´eeet ´etudier son signe.1 0b)Montrer que F est de classe C en 1 et v´erifier qu’en ce point F s’annule sans changer designe (on dit que C pr´esente un point d’inflexion en 1).c) Calculer la d´eriv´ee seconde de F et ´etudier son signe.d)Rassembler ces r´esultats dans un tableau de variations de la fonction F.4) Courbe : Dessiner l’allure de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ENSAE2001,option´economie.dure´e4heures
PROBLEME 1
Onconside`relesfonctionsd´eniespar Z Z x x t tdt f(t) =etF(x) =f(t) dt=3 3 31 13 t1t1 x x √ √ 3 3 ou`lafonctiont7→tniesurestd´eR(par exemple8 =2). Lobjetduproble`meestle´tudedelafonctionF. On noteCerebruocase.ivatntse´epr 1)Domaineded´enition: ´ a)Eidutalre´tgearelssiuavtnconvergencedesina`saparereluclaconu(qescherchne): Z ZZ 1 +0 0 I=f(t) dt, J=f(t) dt, J=f(t) dt 0 2−∞ b)Justifier queF´etdienus]res− ∞,0[. c)endoitine´dalregnopeutprolrerquonoMtnF]0`a,+[ en posant  ZZ 1x F(x) =f(t) dt+f(t) dtpourx >0 etx6= 1 1 1 x F(1) = 0 ´ 2) Etudeaux bornes : a)Dinrmte´emilselrealedsetifonctionFed´tinionauxbornseedosdnmoiaenedD=R. b)Montrer que, pour toutx <0, on a : Z Z 0x 1 F(x)x=f(t) dt+g(t) dt,ou`g(t) =11   13 1 0 x13 t Z 0 ´ c)eEocvnreegutidrealnt´egralncedeliK=g(t) dt −∞ End´eduirelalluredelacourbeCdeFpourx→ −∞. d)+enueriaFdean´etuueenalog. 3) Variations: 0 a)Justifier que la fonctionFvablesurdtseire´D=]− ∞,0[]0,1[]1,+[eCe.´vire´dasrelucla et´etudiersonsigne. 10 b)Montrer queFest de classeCeepncntoireieuqte1nre´vFs’annule sans changer de signe (on dit queCnpointdpr´esenteune)1.nieixno c)ne.nsigersotudiC´eadv´ricualrlleFedee´teeseednoc d)dslefanotcoinse´relcresbmRsataunnsdatstaulesnoitairaveduaelbF. 4) Courbe:Dessiner l’allure de la courbeC.
PROBLEME 2 D´enitionsetnotations: SoitEunC-espace vectoriel de dimension finien1. On noteL(E) l’ensemble des endomorphismes deEetGL(E) l’ensemble des endomorphismes bijectifs deE. Pourf∈ L(E), une partieAdeEest dite stable parfsif(A)A. nUopmoneylˆneldnuonC[Xriatinutocnosisedist]ecse-ta`d-rileeecientdominant( coecientdutermedeplushautdegre´)vaut1. d X k ´ meynˆonpoln´eudtnotEnaPC[Xtnavirce´s,]P=akX, on pose k=0 d X k kk1 0 P(f) =akfo`uf=ffsik1 etf=Id. k=0 Par exemple, siλCetP(X) =Xλ, alorsP(f) =fλId. On admettra que, si P(X) =Q(X)R(X), alorsP(f) =Q(f)R(f) =R(f)Q(f). uetoutpolynˆomedernOeppaeellqnnC[Xp]uest´ceirudemrofalsuosereunditduronp constanteetdepolynˆomesdutypeXαi, avecαiC. Un endomorphismef∈ L(E) est dit cyclique s’il existe un entier naturel non nulpet un vecteur aEtels que :   p2p1 C=a, f(a), f(a), . . . , f(a) a soitunepartieg´en´eratricedeEde cardinalp, stable parftidtnemertua,v,e´ireeltsorsi propri´et´essuivantes: p (i)Cde`essoppts;daueue`xitcndxsiel´me´esdnt a p pj p (ii)f(C)⊂ Cuttourpo-tsec,:erid-a`j[1, p]], f(aunstl´´e)enemeedtC; a aa p p (iii) Vect(C) =Eelritoecevacsp-erape´rdnegne,ces:eelossu-ta`d-riCeagal`st´eE. a a p Une telle partieClseepaptee´cycledefet on dit alors quefestcyclique d’ordrep. a Lobjetduproble`meestle´tudedequelquesexemplesetproprie´t´esdesendomorphismescycliques. Questionpr´eliminaire Soitf∈ L(E). Prouver queλest une valeur propre defsi et seulement sifλIdn’est pas bijectif. Partie 1 1)Soitf∈ L(E), cyclique d’ordrep; on rappelle quen= dimE. a)Justifier quepn. b)Montrer quefest de rang au moinsn1. 2 2)Soith∈ L(E) tel queh=h. Montrer que Im(h) = Ker(hId). Pour quelles valeurs den= dimEl’endomorphismeh?uecyreiqclˆltetui-ep p Comment faut-il choisirapour queCsoit un cycle deh? a 2 3)DansC, soitfun endomorphisme cyclique d’ordre 2; prouver que 1 est valeur propre de fpn´rleminiiaer).O(.uopnuarrlitirlseueaqiost n 4)Onconsid`ereB= (e1, . . . , en) la base canonique deC. n a)Soitfl’endomorphisme deCdont la matrice dans la base canoniqueBest   0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 . . 1 .. . . . . A= 0 . .. . . . ... .0 0 0∙ ∙ ∙0 11 Montrer quefest cyclique et expliciter un cycle defermiD´et.dgerenaenlrf. L’endomorphismefstelbasilanogaidli-rlieysesemt`eO(?euopn´arrduteAY=λY`ou Yest un vecteur colonne etλC.) 2
n b)MeneodcelihmsomprsqueˆemensavstiogdeC, de matrice dans la base canoniqueB,   0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 –1 . . 1 .. . . . . . B= 0 . .. .   . . . ... .0 –1 0∙ ∙ ∙–10 1
Partie 2 p Soitf∈ L(E) un endomorphisme cyclique etCun cycle def. a   2m1 1)Soitmle plus grand entier tel que la familleF=a, f(a), f(a), . . . , f(alibre.) soit a)Prouver que, pour toutkm,fk(a)Vect(F).   n1 b)deiunE´dleilamafelqureB=a, f(a), . . . , f(a) estune base deE. 2)Prouver que si [P(f)](a) = 0 alorsP(f) = 0. Danstoutelasuiteduproble`me,onsupposequefGL(E). p p 3)a)Montrer que, siCest un cycle def, on af(a) =a. a p b)Prouver quef=Id. 4)a)Montrer qu’il existe une base deEdans laquelle la matrice defsit´ecr   0∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙0 –α0 . . 1 ..α1 . . . . 0 . .. .   . . . ..0. .. 0∙ ∙ ∙0 1αn1 b)epolynˆomeunitaisietcndeuuninuqedd´EnexlreuierTdgedee´rn, tel queT(f) = 0. c)emonnyoˆpeloapdsistenexuilverqouPrulnnPC[X] tel que degnP <etP(f) = 0 p 5)Prouver queToˆemlepelonydivisXdilcuen1oenneiidalisivce´aerirouapelrcnp.Orrou p p X1 parT, sous la formeX1 =Q(X)T(X) +R(X). 6)Soitλune racine deT. En posantT(X) = (Xλ)Q(Xu`,o)Qetsnuopylˆnmoetelque degQ < n, prouver queλest une valeur propre def. 7)Prouver quefest diagonalisable. (On pourra montrer queftsairemen´nedseceope`ssnvaleurs propres distinctes.)
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