ENSAE 2002 mathematiques classe prepa b/l

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´E.N.S.A.E. 2002 Math´ematiques (Option Economie)AVERTISSEMENT : II est rappel´e `a tous les candidats que le programme officiel de l’´epreuveest le programme de Math´ematiques des classes pr´eparatoires au concours d’admission du groupe´Sciences sociales (B/L) de la section des lettres de l’Ecole normale sup´erieur`e, dites “Khagnes S”.Toute r´esolution faisant appel `a des r´esultats ne figurant pas explicitement a` ce programme serarejet´ee.Les deux probl`emes sont ind´ependants.PROBLEME 1X 11)a)Pour quelles valeurs de q∈Z la s´erie est-elle convergente?qpp≥12πEn cas de convergence, on note Z(q) sa somme. On admet que Z(2) = .6∗b)D´eterminer trois r´eels a,b,c tels que, pour tout p∈N , on ait :1 a b c= + +2 2p(p+1) p p+1 (p+1)+∞X 1c) Justifier la convergence de la s´erie et calculer la valeur de sa somme S.2p(p+1)p=1∞2)a)Soit f une fonction de classe C sur un intervalle ouvert I deR contenant 0. Prouver parr´ecurrence sur n que : Zn xp nX x (x−t)(p) (n+1)(∀x∈I) (∀n∈N) f(x) = f (0) + f (t)dt (1)p! n!0p=0(p)ou` f d´esigne la d´eriv´ee p-i`eme de f.b)Montrer que, pour tout x≥ 0, on a : n p n+1Xx x x xe − ≤ e (2) p! (n+1)!p=0c) Pour x∈ [0,1[, on pose g(x) = ln(1−x). Calculer la d´eriv´ee p-i`eme de g.x−t´Soit x∈ [0,1[ fix´e. Etudier les variations de la fonction θ(t) = sur l’intervalle [0,x] et1−ten d´eduire que : n p n+1Xx x ln(1−x)+ ≤ (3) p 1−xp=13) Soientp etq deux entiers naturels. On d´esigne parH la ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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´ E.N.S.A.E.2002Math´ematiques(OptionEconomie) AVERTISSEMENT:IIestrappel´e`atouslescandidatsqueleprogrammeocieldele´preuve estleprogrammedeMath´ematiquesdesclassespre´paratoiresauconcoursdadmissiondugroupe ´ Sciencessociales(B/L)delasectiondeslettresdelEcolenormalesup´erieur`e,ditesKhagnesS. Touter´esolutionfaisantappel`adesr´esultatsnegurantpasexplicitement`aceprogrammesera rejete´e. Lesdeuxprobl`emessontind´ependants.
PROBLEME 1
X 1 1)a)Pour quelles valeurs deqZelt-eserie´sal?eegtnvnreeloc q p p1 2 π En cas de convergence, on noteZ(q) sa somme. On admet queZ.(2) = 6 b)mieretD´siortrenslee´ra, b, ctels que, pour toutpN, on ait : 1ca b = ++ 2 2 p(p+ 1)p p+ 1(p+ 1) +X 1 c)lreluclactemeomasesrdeualavdeleegcnvnrealocrieas´etsuJreiS. 2 p(p+ 1) p=1 2)a)Soitfune fonction de classeCsur un intervalle ouvertIdeRcontenant 0. Prouver par re´currencesurnque : Z n x n p X x(xt) (p) (n+1) (xI) (nN)f(x) =f(0) +f(t) dt(1) p!n! 0 p=0 (p) ou`fe´ir´veed´esigneladp-`imedeef. b)Montrer que, pour toutx0, on a : n X p n+1 x x x x e− ≤e (2) p!(n+ 1)! p=0 c)Pourx[0,1[, on poseg(x) = ln(1xeead´eriv´laucellr)C.p-i`emedeg. xt ´ Soitx[0,1[dueilrsexe´.tEdensfolarivaioatitcnnoθ(t) =sur l’intervalle [0, x] et 1t ende´duireque: n X p n+1 x x ln(1x) +(3) p1x p=1 3)SoientpetqdeuxentiertanslerunO.sse´dneigrpaHp,qdne´tcoip,uoneirlonafx >0, par p q Hp,q(x) =x(lnx) . ´ a)raegleldet´indutEonacrlieceenrgve Z Z 1 1 p q Ip,q=Hp,q(x) dx=x(lnx) dx 0 0 b)Pour tout entier naturelp, calculerIp,0. c)Pour tout couple d’entiers naturels (p, qmoe,rentuerqinlleuqllesnocegrevlrsep)uo´tgearel Ip,qest de la forme q! Ip,q=Cq q+1 (p+ 1) ou`Cqel´enrtuenepd´neuqdeadtnseeqi´teec(iloanspurr.qVu´eesreireaeulq,Cq)qNest born´ee.
4)On pose Z +ut G(u) =te dt 0 a)itnoeined´diaenomedrlnemieretD´Dde la fonctionG(onearte´dsujneitnspo.e)llai´ear b)Pourx=nN, exprimerG(nalofmreaelgraaildedeedunein)t`´Ip,qeetdnadu´eelir valeur deG(n) pournN. 5)a)elesbmleninertermD´eQdes valeurs deqN:ecedlni´tgearelnegrevnocanoselluesqleurpo Z 1q (lnx) Jq= dx 1x 0 xlnx b)rancfoontied´epnitnoMqreraleuϕ(xtreputˆeng´erolo)=epe´ernofenuneeobnoitcn 1x sur [0,1]. c)Montrer que, pour tousqQetnN, on a : nZ X 1n+1q x(lnx) JqIp,q= dx(4) 1x 0 p=0 d)PourqQedd´,ce´rpiuqecederiussioxpreunee`ededneJqnofaoitcndeleadi`laZ. En particulier, avec la valeur deZlleuq,)arge´tniet-euepalon2(f)uonrie`alaquestion1) calculer ? ´ 6)a)SoitpN.eleigerraliEnttu´dvdeerlgaecnocne Z 1p x 0 J= dx p 1lnx 0 b)edelale`guelaceaodlonanumee´hte´irperadedunesle`alaiarge´tniettecremrixpne-outPe question 5? x ´ 7)a)Soitψ´eniondriepanotclfaψ(x) =xgeernvcoieledncE.alreiduttne´rglae Z 1 K=ψ(x) dx 0 La fonctionψngloee´enenuncfo-tueellerteˆorpe[0ures´ernboontip,1] ? b)Montrer que, pour toutnN, on a nZ p1n+1 X (1) (xlnx) KIp,pψ(x) dx(5) p!(n+ 1)! 0 p=0 End´eduireque Z+1 X dx1 = (6) x p x p 0 p=1 8)a)areloMuerqrentegt´inlZ 1 L= ln(x) ln(1x) dx 0 est convergente. b)En utilisant entre autres la question 5.b), montrer qu’il existe une constanteMtelle que, pour toutnN, on ait n X 1M L+Ip,1(7) pn+ 1 p=1 End´eduireuneexpressiondeLsalemmocnudemmoepri´eesalavsluieurdeL.
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PROBLEME 2
One´tudiedansceprobl`emequelquesaspects´el´ementairesdelage´ne´tiquelie´sauxprobabilit´es. Danstoutleprobl`eme,onconside`reunepopulationr´epartieentremalesetfemelles,portant chacundeschromosomescontenanteux-meˆmesdesge`nes.Leschromosomes,etdonclesg`enes, vont par paires. Onsint´eresse`aunepairedege`nesparticulierspouvantpr´esenterchacunseulementdeux caracte`res,quelonnoteraAeta. L’ordre n’intervenant pas, il y a donc trois paires de´enogepyts possibles,d´esign´eespar
AA, Aa(ouaA), aa Onsupposelessexesmaleetfemellee´quire´partisdanslapopulationetlesaccouplements ale´atoires.Dansuneliation,chaqueenfantre¸coitung`enedechaquege´niteur(pe`reetm`ere) avec´equiprobabilite´,pourconstituerunepaire,etlestransmissionsdeg`enessontind´ependantes.
PartieI:Ge´n´eralite´s On noteu0, 2v0,w0pytoseessdeng´oropontineltserpeptcvimeresAA,Aaetaadans la population male initiale comme dans la population femelle initiale (et donc aussi dans la population totale initiale). On a alorsu0+ 2v0+w0= 1. On pose de plus p0=u0+v0etq0=v0+w0 1)rpe´euernetestnQp0etq0?Exerlaprimdeoneng`opprtioredseepytApar rapport aux ge`nesdetypea. 2)a)´Vreireontioroppreselqusepytone´gsedsAA,Aaetaaremialap`tist`n-oce(´eare´rgne-ea`iedr pourlapopulationconstitue´edesenfants)sontrespectivement 2 2 u=p ,2v(1) 1 01= 2p0q0, w1=q0 b)stionoporespr´esgern´emaltlen´Dreteenimulprun, 2vn,wnnetose´gd,esypAA,Aaetaa respectivement,a`lan-ta`d-rioi(ncse´en´erat-i`emegpreas`enerutanesical,rte)se´rpialonti des suites (un)nN, (vn)nNet (wn)nN. N.B.Cecimontrequonatteintapproximativementlastabilite´desg´enotypesd`eslapremi`ere g´ene´ration,quellequesoitlare´partitioninitiale.
PartieII:Se´lection Danscettepartie,onfaitlhypothe`sesuppl´ementairequelesindividusdetypeaane peuvent se reproduire;onsupposedoncunaccouplemental´eatoireseulementparmilesindividusdetype AAouAaarspurjoouetgnise´dnO.u0,2v0, w0sdong´esotenesypmeneltserpporoitrespectivAA, Aaetaadans les populations male et femelle initiales. On supposew06= 1 1)a)?Quelle est la proportion de parents possibles dans la population totale initiale b)oitcnofnerenimreD´etendu0etv0netose´gnodsroitoppreslypesAAetAaparmi les parents. c)On pose u0+v0v0 p0= etq0= 1w01w0 Montrerqualorslesproportionsdestroisg´enotypesdanslapremie`reg´ene´ration(celledes enfants)sontencoredonn´eesparlesformules(1). d)Peut-on avoirw1= 1 ? 2)a)Osparteuoojrudne´isngun,2vn, wnlesotenesypdsno´gseporpitroAA,Aaetaarespective-menta`lan-`ie´´nmegeruop,eneioaterosnpotlnN: un+vnvn pn= etqn= (2) 1wn1wn 3
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