ENSAE 2004 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

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A 2004 Math MP 1 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2004 PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUESFiliere MP(Duree de l’epreuve : 3 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a la disposition des concours :Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pries de mentionner de fa con apparente sur la premiere page de la copie :MATHEMATIQUES 1-Filiere MP.Cet enonce comporte 4 pages de texte.Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’enonce, il le signale sursa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amene a prendre.L’objet de ce probleme est principalement l’etude et le calcul de l’integrale suivante :Z ∞ arctantI = dt . te 10Premiere partieLe but de cette partie est d’etablir une expression de l’integrale I et d’etudier la fonction ϕ de niepar la relation suivante :arctantϕ(t) = . te 1Variations de la fonction ϕ :1. Determiner un eventuel prolongement par continuite de la fonction ϕ en 0.2. Etudierlesvariationsdelafonctionϕsurlademi-droiteouverteD = ]0,∞[; ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2004 Math MP 1
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
` ´´ PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`reMP (Dure´edele´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`repagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES1-Fili`ereMP.
Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte. Si,aucoursdel´epreuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd´enonce´,illesignalesur sacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamene´a`prendre.
Lobjetdeceproble`meestprincipalementl´etudeetlecalculdelinte´gralesuivante: Z arctant I=dt . π t e1 0
Premi`erepartie
Lebutdecettepartieestde´tabliruneexpressiondelinte´graleIerlafonctdio´netuditeϕnied´e par la relation suivante : arctant ϕ(t) =. π t e1
Variations de la fonctionϕ: 1.D´eterminerune´ventuelprolongementparcontinuite´delafonctionϕen 0. ´ 2. Etudierles variations de la fonctionϕsur la demi-droite ouverteD= ]0,nassere´tpeut[;ileintˆetr d’introduire la fonction auxiliaireψitalusnorapeerald´nieivante: π t 1e ψ(t) =πarctant . 2 1 +t
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Ende´duirelabornesup´erieuredelafonctionϕsurD. Existenceetexpressionsdelinte´graleI: 3.Justierlexistencedelinte´graleIelarrlpauinsioat:eavtneine´d Z arctant I=dt . π t e1 0
4.D´emontrerlesdeuxrelationssuivantes: ZZ ∞ ∞k π t X X 1e k π t I=earctant dt;I=dt . 2 k π1 +t 0 0 k=1k=1
Deuxi`emepartie
Le but de cette partie est d’introduire une fonctionfnoa`afc¸fsrortnadeeunetbossexesrlmeonsiespr pre´ce´demmentpourlint´egraleIet`apouvgr´eeallreltnicriouclaI.Soitftionrelaarlainpe´deitnoofcnla suivante :
Z ∞ −x t e f(x) =dt . 2 1 +t 0
Propri´ete´sdelafonctionf: 5.De´terminerlensembleded´enitiondelafonctionfecr´.Penlerisadelbmesleuqelsnnctilafoonf estcontinue;quelleestsalimitelorsqueler´eelxtend vers l’infini ?
´ 6.Dansquelensembleest-elledeuxfoiscontinˆumentd´erivable?Etablirunerelationsimpleentrela fonctionfeeesir´veocdnad´eetsf´sur la demi-droite ouverteD= ]0,[.
Deuxint´egrales: ´ Soitanu´reeslrtcimeteponttisif(a >.)0natEnodtue´nlerne´X`aegalrou´iruepue´sa(Xa), soient S(X) etC(Xraegt´inuxdees)ltnse:elssiuav Z Z X X sintcost S(X) =dt;C(X) =dt . t t a a 7.Existe-t-ilunelimitea`chacunedesexpressionsS(X) etC(X),loreeller´squeXcroˆıt vers l’infini ?
Soientgethd´eniessurladem-irdioetuoevtredselfxuetcnosnoiDsuivantes :par les relations Z ZZ Z XX sintsintcostcost g(x) =dt= limdt;h(x) =dt= limdt . t tt t X−→∞X−→∞ x xx x
Une expression de la fonctionf:
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8.R´esoudrele´quationdie´rentiellev´eri´eeparlafonctionfdans la demi-droite ouverteD= ]0,[ ;exprimerlasolutiong´ene´raledecette´equation`alaidedesdeuxfonctionsgeth.
9.End´eduirelesdeuxexpressionsci-dessousdelafonctionf: Z Z ∞ ∞ sinusin (xt) f(x) =du=dt . u+x1 +t 0 0
Troisi`emepartie
Unr´esultatinterme´diaire: 10.Enutilisantlesre´sultatse´tablisdanslespremi`ereetdeuxie`meparties,de´montrerlarelation suivante : Z X 1 sin(k u) I=du . k ππ+u 0 k=1
11.D´emontrerlere´sultatsuivant:  ! ZX X 1 11 1cos (nu) I=du. 2 22 2 π kπ n 0(u+π) k=1n=1
2Sommedelase´riedetermege´ne´ralcos (nu)/n , nN: SoitGfanotcoi2elriodep´equediodire´p,ellee´retiodrlauresnied´n,π(G(x+ 2π) =G(x)), dont la restriction au segment [0,2π:ee´dtse]lrapeinioatelarntvauins 2 2 x πxπ G(x) =+. 4 2 6
´ 12.Etudierlaparite´delafonctionGmentoppeevelled´rueiedoFreeine´stsencieco`ar,´e.Drmteerin r´eels,decettefonctionG. Quelleestlanaturedelaconvergencedelas´eriedeFourier? 213.Ende´duirelasommeT(xs´lade)tedeieere´´nmrgeoc(srelanx)/n , nN,lorsleuqe´relex appartient au segment [0,2π] : X cos (nx) T(x) =. 2 n n=1 2End´eduirelasommeSne´gemretedeire´aseldl1´eran/n ,N: X 1 S=. 2 n n=1
Valeurdelinte´graleI:
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Soitakesalvauintigr´einelrape´re´dleltn:e  ! Z2 (k+1)π X 1 cos(nu) ak=du. 2 2 n 2k π(u+π) n=1 14. Calculer,pour tout entier naturelk,uedrvalalelrue´ak. SoitNSoitun entier strictement positif.INeinaplrraletaoicn-iedsslueor:´seeld´ N1  X 2n+ 3 IN=1 + (n+ 1) ln. 2n+ 1 n=0 15.De´montrerquelavaleurdelinte´graleIt´egesalalale`ledetimi(etiusaIN): NN
I= limIN. N−→∞ End´eduirequelint´egraleItneg.eoceirevnneuers´solaedmmets
16.Apr`esavoirmontr´equelexpressionEN(= expINtiudorpnua`elaget´es)afeduetcd,srete´inrmer lavaleurdelint´egraleI.
SoitJ:etnaviulint´egrales Z arctant J=dt . 2π t e1 0 Ilestfaciledecalculerlint´egraleJlculerlvipourcaelni´tgear´eemodthlaaremmˆiuqeresaeuqellecp I; il vient :   1 ln(2π) J= 1. 2 2
SoitKe:vantesuigrale´tnil
Z arctant K=dt . π t e+ 1 0
Calculdelinte´graleK: 17.Calculerlinte´graleK´esultatobtenupo,snetulisinaltreien´e,dsues-dcilru´tniargeelIet la valeuradmisepourlint´egraleJ.
` FIN DU PROBLEME
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