ENSAE 2004 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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A 2004 Math MP 2 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2004 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUESFiliere MP(Duree de l’epreuve : 4 heures)(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).Sujet mis a la disposition des concours :Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.Les candidats sont pries de mentionner de fa con apparente sur la premiere page de la copie :MATHEMATIQUES 2-Filiere MP.Cet enonce comporte 6 pages de texte.Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’enonce, il le signalesur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amene a prendre.L’epreuve comporte deux problemes completement independants.Probleme I2Soit f une fonction a valeurs reelles ou complexes, denie dans un ouvert U du plan R , deux foiscontinumeˆ nt derivable ; le laplacien de la fonction f est, par denition, la fonction, notee f, deniedans l’ouvert U par la relation suivante :2 2∂ f ∂ ff (x,y) = (x,y)+ (x,y).2 2∂x ∂y2Une fonction f a valeurs reelles ou complexes, denie dans un ouvert U du plan R , deux fois con-tinumenˆ t derivable, est ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2004 Math MP 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2004
´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`reMP (Dure´edel´epreuve:4heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`repagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`reMP.
Cet´enonce´comporte6pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurd´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilestamene´a`prendre.
L´epreuvecomportedeuxprobl`emescompl`etementinde´pendants.
Proble`meI 2 Soitfsunoedanenis,d´elexocpmseuoeellr´rseualavn`ioctnofenurevutUdu planR,deux fois continuˆmentde´rivable;lelaplaciendelafonctionft,pard´eesalofcnitntioi,neΔ,non´eotf,ed´ein dans l’ouvertUpar la relation suivante : 2 2 ∂ f∂ f Δf(x, y) =(x, y() +x, y). 2 2 ∂x ∂y 2 Une fonctionfa`avelrurse´lelesoucomplexes,dne´adeinusnevuortUdu planR,deux fois con-tinuˆmentd´erivable,estharmoniquedansUsi et seulement si son laplacien est nul dansU: 2 2 ∂ f∂ f Δf(x, y() =x, y) +(x, y) = 0. 2 2 ∂x ∂y Exemple:ene´lectrostatique,lepotentiele´lectriquedanslevideestharmonique. Lebutduproble`meestdedonnerdesexemplesdetellesfonctionspuisded´emontrercertainespro-pri´et´esdecesfonctions:leprincipedumaximum,lapropri´ete´demoyenne,lefaitquelesfonctions borne´esharmoniquesdanstoutleplansontconstantes.
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2 Le planRe´umppsoaloninedstsueliuceerm.neendi Quelques exemples de fonctions harmoniques : 2 1.D´emontrerquelesfonctionscomplexesfetgn, nN,anlepladsninse´deRpar les relations ci-dessous, sont harmoniques :
x+i y f(x, y) =e ,
n gn(x, y) = (x+i y).
2 2.D´eterminerlesfonctionsusre´leel,asclde´e,dCserusseind-imedaleouvroit]0erte,[,telles   2 2 que chaque fonctionh,dne´anpldaielensRnitprvie´udopOR\ {O}par la relation ci-dessous, soit harmonique   p 2 2 h(x, y) =u x+y . p 2 2 Posersine´cessaire:r=x+y .
2 3.D´eterminerlesfonctionsvleel´ers,e´d,Cesrusseinascldeladroiter´eelleR,telles que chaque   2 2 fonctionk,nadepelsnald´nieRexlea´ivrdpey´OyR\y´Oypar la relation ci-dessous, soit har-monique.   y k(x, y) =v . x
2 Soit la suite (uneptlnlaansdouste´dseincnofnoit)deRpar les relations suivantes : nN n n(x+iy) un(x, y) = (1). (2n)! 2 4. SoitKnensnublemerefebm´n´oreuqenocldeuqalpuR;d´emontrerqulerasertciitnoun|Kde la fonctionun´ermfeauKdnurelae´´nmrgectioefonriedes´etelesteme´mctnenusnrofi.teveonenrg End´eduirequelas´eriedefonctionsdetermeg´en´eralunconverge en tout point du plan et que sa somme, la fonctionϕtneiuavoisnelatrlariepa´end, X ϕ(x, y) =un(x, y), n=0 est continue dans le plan. 2 5.De´montrerquecettefonctionϕest harmonique dans tout le planR.
Principe du maximum : 2 Soitfunctinefon´eedqutonsdaiellee´rnoinomraheleutanplR. SoitDcentremrefede´ideleuqs Oet de rayon strictement positifr(r >0) ; soitCle cercle de centreOet de rayonr:
  2 2 2 D= (x, y)|x+yr ,   2 2 2 C= (x, y)|x+y=r . ´ 2 Etantdonn´eunentierstrictementpositifp(p >0),soitfpnofale´dnoitcnsdaienRpar la relation suivante :
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2 2 x+y fp(x, y) =f(x, y) +. p 6.D´emontrerlexistencedunpointMpeesecdn´onrdooapetbp,e´mpaaptrenantaudisqueferDen lequel la fonctionfpatteint son maximum :
fp(ap, bpmax) =fp(x, y). (x,y)D
7.De´montrerque,silepointMpent`aliappartidrdusiuqtne´irueeD,d´uxiverldeessednedsee´oces la fonctionfp´endseuedentvarinetbo,`asiapxuofoptrrrpaxudeuosparxfoippar`troay,sont, en ce pointMp,egn´taviseuounllse: 2 2 ∂ fp∂ fp (ap, bp)0 ;(ap, bp)0. 2 2 ∂x ∂y 8.Ende´duire,encalculantparexemplelelaplaciendelafonctionfp,que le pointMptseutis´esur le cercleC.
9.De´montrerquilexisteunpointP´eesedcoordonnaetbdu cercleCen lequel la fonctionfatteint son maximum surD:
f(a, b) =maxf(x, y). (x,y)D
2 10.End´eduirequedeuxfonctionsharmoniquesdansleplanRlegaelslgdonnculcreee´Cdu plan (derayonstrictementpositif),sonte´galesdanstoutledisqueDrfedere`itnoC.
Proprie´t´edelamoyenne
2 ´ Soitfed´eniearmoniqu´reellheofcnitnoneunalpelsnadRinpounesn´ontdantE.tM0de coor-donne´esx0ety0r´leeetunρpositif ou nul, soitFortifere´mee0[eniesurlademi-dofalitcn´dno,[ par la relation suivante : Z 2π F(ρ) =f(x0+ρcosθ, y0+ρsinθ)dθ. 0 11.De´montrerquelafonctionFetconietd´ees-imedalruseunitn0e[´ermfeteoidr,[.
12.De´montrerquelafonctionF´erirsadv´eeesnemue´dtnoctˆnit´ePrsecivarie.blF´(ρ).
13.De´montrerqueleproduitρ.F´(ρleurduneint´egrlaceruivilngdeufoneermge´tse)avala`la di´erentielleα=A(x, y)dx+B(x, y)dy:eΓt´enricoarundgnolel Z ρ.F´(ρ) =(A(x, y)dx+B(x, y)dy). Γ Pre´ciserlaformedi´erentielleαlet´tΓe.raocirne
14.D´emontrerquelafonctionFocnoitcn;etnatsnfonetues.rcisepr´ealeursav
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