ENSAE 2006 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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A 2006 MATH. II MP COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS ES. COLES NATIONALES SUP RIEURES DE L’A R ONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,DE TECHNIQUES AVANC ES, DES T L COMMUNICA TIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT- TIENNE, DES MINES DE NANCY,DES T L COMMUNICA TIONS DE BRETAGNE. COLE POLYTECHNIQUE (FiliŁre TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2006SECONDE PREUVE DE MATH MA TIQUESFiliŁre MP(DurØe de l’Øpreuve : 4 heures)L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours :ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle internationalLes candidats sont priØs de mentionner de fa on apparente sur la premiŁre page de lacopie :MATH MA TIQUES II - MP.L’ØnoncØ de cette Øpreuve comporte 5 pages de texte.Si, au cours de l’Øpreuve, un candidat repŁre ce qui lui semble Œtre une erreur d’ØnoncØ, ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiativesqu’il est amenØ à prendre.Le but de ce problŁme est d’Øtudier le comportement asymptotique ndes racines de la dØrivØe du polyn me de degrØ n + 1,P (X) = X(X 1) : : :(X n);nlorsque n tend vers l’in ni.On notera cot la fonction dØ nie sur ]0; [ parcos(x)cot(x) = :sin(x)Cette fonction est une bijection de ]0; [ surR. On notera Arc cot sa fonctionrØciproque. Pour tout rØel x, [x] dØsignera la partie entiŁre de x. On rappellela formule de Stirling:p n nn! 2n : ( ) quand n! +1:eLes parties I et II sont indØpendantes.0I. Quelques propriØtØs des ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2006MATH. IIMP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2006
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Le but de ce problème est d’étudier le comportement asymptotique fin des racines de la dérivée du polynôme de degrén+ 1,
Pn(X) =X(X1). . .(Xn),
lorsquentend vers l’infini. On noteracotla fonction définie sur]0, π[par
cos(x) cot(x) =. sin(x)
Cette fonction est une bijection de]0, π[surR. On noteraArc cotsa fonction réciproque. Pour tout réelx,[x]désignera la partie entière dex. On rappelle la formule de Stirling: n n n!2πn .( )quandn+. e Les parties I et II sont indépendantes.
0 I. Quelquespropriétés des racines deP n 0 1) Montrerque, pour toutn1,Padmet exactement une racinexn,kdans n chacun des intervalles]k, k+ 1[, pourk= 0, . . . , n1.
Notonsαn, k=xn, kk]0,1[, la partie fractionnaire dexn, k.
0 2) Pourn1, en calculant les coefficients de degrén1etndeP, n P P n1n1 exprimerxn, k, puisαn, ken fonction den. k=0k=0
3) EncomparantPn(X)etPn(nX), exprimerxn, n1ken fonction de xn, k, pour toutn1, et pour toutk= 0, . . . , n1.
4) Déterminerla valeur deαn, k+αn, n1k.
Le but des questions suivantes est de montrer que,nétant fixé, la suite desαn, kcroît lorsquekcroît de 0 àn1.
5) Pourtoutn1, dresser, en fonction de la parité den, le tableau de variations dePn.
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On y fera apparaître les réelsxn, kpourk= 0,1, . . . , n1ainsi que les entiers0,1, . . . , n. On pourra s’inspirer du modèle de la figure 1.
nk 6) Endéduire le signe de(1)Pn(xn, k)pourk= 0,1,∙ ∙ ∙, n1.
7) Enutilisant la relationPn(X) = (Xn)Pn1(X), déterminer le signe de nk0 ( (1)Pnxn1, k)pourk= 0,1,∙ ∙ ∙, n2.
8) Endéduire que pourk= 0,1,∙ ∙ ∙, n2, on axn1, k> xn, k.
9) Enutilisant l’idenditéPn(X) =XPn1(X1), déterminer, en fonction nk0 deketn, le signe de(1)P(1 +xn1, k1)pourk= 1,∙ ∙ ∙, n1. n
10) Endéduire que pourk= 1,∙ ∙ ∙, n1, on axn, k>1 +xn1, k1.
11) Conclure.
II. Undéveloppement asymptotique x1t PourxR, on considère la fonctionhxdéfinie surR+parhx(t) =.t e 12) DéterminerE={xR|hxest intégrable sur]0,+[}.
Pourx∈ E, on pose
Z +x1t Γ(x) =t edt. 0
13) MontrerqueΓest strictement positive surE.
14) MontrerqueΓest deux fois dérivable surE.
15) Exprimerpour toutx∈ E,Γ(x+ 1)en fonction dexetΓ(x).
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On admet que la fonctionΓsatisfait, pour toutx]0,1[:, la formule π Γ(x) Γ(1x) =.(A) sin(πx) Désormais, on pose, pour toutx∈ E, 0 Γ (x) Ψ(x) =. Γ(x) 16) MontrerqueΨest strictement croissante.
17) Établir,que pour toutx∈ E, 1 Ψ(x+ 1) = Ψ(x) +. x
Le but des questions suivantes est de montrer que, pour toutx >0, " # m X 1 lim Ψ(x) +lnm= 0. x+j m+j=0 On pose pour toutx >0, φ(x) = Ψ(x)ln(x). 18) Montrerque la série de terme général(φ(n+ 1)φ(n))converge.
19) Montrerque la suite(φ(n), n1)converge lorsque l’entierntend vers l’infini. SoitCsa limite.
20) Établirque l’on a aussi:
21) Montrerque siC6= 0,
22) MontrerqueC= 0.
limφ(x) =C. x+
Z x φ(t)dtCx. +1
23) Conclureen considérantΨ(x+m+ 1).
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III. Comportementasymptotique desαn, k 0 P n 24) Enconsidérant la fraction, montrer que Pn k nk1 X X 1 1 = 0. αn, k+j(1αn, k) +j j=0j=0
25) Pourt]0,1[fixé, on poseun=αn,[nt]pourt]0,1[.Démontrer que   1t lim Ψ(un)Ψ(1un= 0) + ln. t n+
26) Démontrerque la suite(un, n1)est convergente et calculer sa limite, que l’on noteraF(t).
x−∞0xn,01xn,1. . .2k xn,2k2k+1xn,2k+12k+2. . .
0 P n
Pn
Fig.1 –Modèle de tableau de variation.
FIN DU PROBLÈME
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