ENSAI composition de mathématiques 2008 eco

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INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ETUDES ECONOMIQUES ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE DE L’INFORMATION ______________ Concours d’élève ingénieur de l’ENSAI Concours d’attaché statisticien____________ MAI 2008 _________ SPECIALITE ECONOMIE _____________ composition de mathématiques Durée : 4 heures _____________ L’usage des calculatrices est interdit. Le sujet comprend 4 pages (y compris celle-ci) Le sujet se compose de 3 parties indépendantes 1Premi`ere partie :Dans toute cette partie, I d´esigne la matrice identit´e de dimension 3. On consid`ere la matrice : 1 2 −2 M = 1 5 −41 2 −11) Montrer que les valeurs propres de la matrice M sont 1 et 3. Est-ce-que la matrice M est diagonalisabledans M (R) ?32) D´eterminer trois constantes r´eelles a,b,c telles que pour tout x∈R\{1,3},1 ax+b c= + .2 2(x−1) (x−3) (x−1) (x−3)2On pose P = (aM +bI)(M−3I) et P =c(M−I) .1 22 23) Calculer les matrices P , P , P , et P .1 2 1 24) On note D =P +3P et N =M−D.1 224-a) Calculer D, N, N , DN et ND.k k 04-b) Montrer que pour tout k∈N,D =P +3 P . (Avec par convention, D =I).1 2k k4-c) Montrer que pour tout k∈N,M =D +kN.k4-d) En d´eduire M pour tout entier naturel k.Deuxi`eme partie :Dans toute cette partie, on consid`ere un entier n≥ 1 et on note D l’ensemble des nombres complexesde module inf´erieur ou ´egal `a 1 et z ,z ,...,z les racines ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ETUDES ECONOMIQUESECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L’ANALYSE DE L’INFORMATION ______________
Concours d’élève ingénieur de l’ENSAI
Concours d’attaché statisticien ____________
MAI 2008 _________
SPECIALITE ECONOMIE _____________
 compositionde mathématiques
Durée : 4 heures
_____________
L’usage des calculatrices est interdit.
Le sujet comprend 4 pages (y compris celleci)
Le sujet se compose de 3 parties indépendantes
1
Premie`repartie:
Dans toute cette partie,Ie:ictrmaalere`disnocnO.3it´tdedemineisnognelamatriceidendise´   1 22   M= 154 1 21 1) Montrer que les valeurs propres de la matriceMEstceque la matricesont 1 et 3.Mest diagonalisable dansM3(R) ? 2)D´eterminertroisconstantesr´eellesa, b, ctelles que pour toutxR\ {1,3}, 1ax+b c = +. 2 2 (x1) (x3) (x1) (x3) 2 On poseP1= (aM+bI)(M3I) etP2=c(MI) . 2 2 PetP . 3) Calculer les matricesP1, P2,1,2
4) On noteD=P1+ 3P2etN=MD. 2 4a) CalculerD, N, N , DNetN D. k k0 4b) Montrer que pour toutkN, D=P1+ 3P2par convention,. (AvecD=I). k k 4c) Montrer que pour toutkN, M=D+kN. k 4d)Ende´duireMpour tout entier naturelk.
Deuxi`emepartie:
Danstoutecettepartie,onconside`reunentiern1 et on noteDl’ensemble des nombres complexes demoduleinfe´rieuroue´gala`1etz1, z2, . . . , zn+1les racines (n)i`+1e´.nutiedlmese n+1 Xkj i2π n+1 1) Montrer que pour toutk= 1, . . . , n, e= 0 j=1 n+1 X k 2) Montrer que pour toutk= 1, . . . , n,z= 0. j j=1 3) Soientu1, . . . , un+1, n+elst1r´eue:elsq
n+1 X j= 1, . . . , n+ 1, uj1 etuj=n+ 1. j=1
Montrer que pour toutj= 1, . . . , n+ 1, uj= 1.
4) Soientv1, . . . , vn+1, n+ 1nombres complexes tels que :
n+1 X j= 1, . . . , n+ 1,|vj| ≤1 etvj=n+ 1. j=1 Montrer que pour toutj= 1, . . . , n+ 1, vj= 1. 2
5)Onconside`remaintenantunpolynˆomePecientscomplexededs´rgeea`ocnet tel que
n1 X n k zC, P(z) =z+akzetzD, P(z)D. k=0 n+1 X 5a) Montrer quezjP(zj) =n+ 1. j=1 5b)End´eduirequepourtoutj= 1, . . . , n+ 1, zjP(zj) = 1. n 5c) Montrer que pour toutzC, P(z) =z.
Troisie`mepartie:
Dans toute cette partie,aemetoptnitis´xfPoe.tourutrtcieeslnu´retsxR, on pose 2 a(1 +a) fa(x) = 2 1 +x 1) Donner le tableau des variations defaerscerattbrrecauosenepe´rve.tati 2)2a)R´esoudredansRl´e,oinuqtafa(x) =x. 2b)R´esoudredansRnoitauqe´l,fa(x) =a. 3) Dans cette question, on prenda= 1. 3a) Calculerf1f1(x). 3b)Montrerquel´equationf1f1(x) =xafelndio´equmeorua`tuavitauqe´enP1(x=)o0u`P1est un polynˆomededegr´e5queloncalculera. 3c)Ve´rierque1estracinemultipledele´quationP1(xtsoneles0.Qu)=lpciluitdemerord´eit? 3d)R´esoudredansRe´ltauqion,f1f1(x) =x. Danstoutelasuite,onconsid`ereunesuiter´ecurrente(un)n0de´aprneiu0onn´0deetun+1=fa(un) pour toutnNposera enfin pour tout. OnnN, vn=u2netwn=u2n+1. 4) 4a)Montrer que les deux suites (vn) et (wn) sont monotones et que l’une de ces deux suites est croissante etlautreestde´croissante. 4b)Montrerquetouslestermesdelunedecesdeuxsuitessontsupe´rieursoue´gauxa`aet que tous lestermesdelautresuitesontinfe´rieursoue´gauxa`a. 4c) Montrer que les deux suites (vn) et (wn) sont convergentes. 5) Dans cette question, on prenda= 1. 5a) Montrer que les deux suites (vn) et (wnrgenonvesunetverc)aresnO(.rpnoice´eqitlueemmˆimel pourra utiliser les questions 3 et 4). 5b)Quepeutonende´duirepourlasuite(un) ? 6) Dans cette question, on suppose quea >1. 6a) Calculerf(a). a 6b)Ende´duirequilexisteδ >0 tel que : x[aδ, a+δ],|f(x)| ≥1. a 3
6c) On suppose, dans cette partie de la question, que la suite (unMontrer qu’il existe) converge. n0Ntel que nn0, un[aδ, a+δ] et|una| ≥ |un0a|. 6d)End´eduirequelasuite(un) converge versasi et seulement siu0=a. 7) On suppose maintenant que 0< a <1. 7a) Calculerfafa(x). 7b)Montrerquele´quationfafa(x) =xlefaoidnuqtaene´t`auivau´equmeorPa(x`u0o)=Paest un polynoˆmededegre´5queloncalculera. 7c)MontrerquilexisteunpolynˆomeQaqlet4e´reudedegPa(x) = (xa)Qa(x). 7d) Etudier les variations deQa(x) pourxaquer´eltmetronauqenoitfafa(x) =xdeuneposs`e seuleraciner´eellesup´erieureou´egalea`a. 7e)Montrer,enutilisantlesr´esultatsdelaquestion4,quelasuite(un) converge versa.
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