ENSEIGNEMENT de SPECIALITE Durée de l'épreuve heures

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2004 BACCALAUREAT GENERAL Session 2004 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT de SPECIALITE Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4. 1

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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BACCALAUREAT GENERAL
Session 2004
MATHEMATIQUES Série S
Session 2004
ENSEIGNEMENT de SPECIALITE
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4.
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EXERCICE 1 (4 points )
Commun à tous les candidats
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct(O, u, v). Unité graphique2cm. On appelleAle point d'affixe2i. A tout pointMdu plan d'affixez, on associe le pointMd'affixe z=2z+ 2i.
1)On considère le pointBd'affixeb= 32i. ′ ′′ ′ Déterminer la forme algébrique des affixesaetbdes pointsAetBassociés respectivement aux pointsAetB. Placer ces points sur le dessin.
2)Montrer que siMappartient à la droite(Δ)d'équationy=2alorsMappartient aussi à(Δ).
3)Démontrer que pour tout pointMd'affixez,|z+ 2i|= 2|z+ 2i|; interprétez géométriquement cette égalité.
4)Pour tout pointMdistinct deA, on appelleθun argument dez+ 2i. −→ a)Justifier queθest une mesure de l'angle(u , AM). b)Démontrer que(z+ 2i)(z+ 2i)est un réel négatif ou nul. c)En déduire un argument dez+ 2ien fonction deθ. d)Que peut-on en déduire pour les demi-droites[AM)et[AM)?
5)En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du pointMassocié au pointM.
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EXERCICE 2 (5 points )
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On se propose dans cet exercice d'étudier le problème suivant : « Les nombres dont l'écriture décimale n'utilise que le seulchiffre1peuvent-ils être premiers ? » Pour tout entier naturelp2, on poseNp= 1. . .11apparaîtpfois. p1p2 0 On rappelle dès lors queNp+= 10+ 10. . .+ 10.
1)Les nombresN2= 11,N3= 111etN4= 1111sont-ils premiers ? p 101 p 2)Prouver queNp=. Peut-on être certain que101est divisible par9? 9 3)On se propose de démontrer que sipn'est pas premier, alorsNpn'est pas premier. On rappelle que pour tout nombre réelxet tout entier naturelnnon nul, n n1n2 x1 = (x1)(x+x+. . .+x+ 1). a)On suppose quepest pair et on posep= 2q, oùqest un entier naturel plus grand que1. Montrer queNpest divisible parN2= 11. b)On suppose quepest un multiple de3et on posep= 3q, oùqest un entier naturel plus grand que1. Montrer queNpest divisible parN3= 111. c)On suppose quepn'est pas premier et on posep=kq, oùketqsont des entiers naturels plus grands que1. En déduire queNpest divisible parNk.
4)Enoncer une condition nécessaire pour queNpsoit premier. Cette condition est-elle suffisante?
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EXERCICE 3 (9 points )
Commun à tous les candidats
On s'intéresse à des courbes servant de modèle à la distribut ion de la masse salariale d'une entreprise. Les fonctionsfassociées définies sur l'intervalle[0; 1]doivent vérifier les conditions suivantes : (1)f(0) = 0etf(1) = 1; (2)fest croissante sur l'intervalle[0; 1]; (3) Pour tout réelx,f(x)x. Le plan est rapporté à un repère orthonormalR= (O, i, j). Unité graphique 10 cm. I. Première partie.Etude d'un modèle. On appellegla fonction définie sur l'intervalle[0; 1]par x1 g(x) =xe.
1)Prouver quegvérifie les conditions (1) et (2). x x 2)Montrer queg(x)x= (ee)et en déduire quegvérifie la condition (3). e 3)Tracer les droites d'équationsy=xetx= 1et la courbe représentative degdans le repèreR. II. Seconde partie.Un calcul d'indice. Pour une fonctionfvérifiant les conditions (1), (2) et (3), on définit un indiceIégal à l'aire exprimée en unité d'aire, du domaine planMdélimité par les droites d'équationsy=x,x= 1et la courbe représentative def. Z 1 1)Justifier queI= [xf(x)]dx. 0 2)A l'aide d'une intégration par parties, calculer l'indiceIg, associé àg.
3)On s'intéresse aux fonctionsfn, définies sur l'intervalle[0; 1]par n 2x fn(x) =. 1 +x nest un entier naturel supérieur ou égal à2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2) et (3) et on se propose d'étudier l'évolution de leurindiceInlorsquentend vers l'infini. Z Z 1 1 1 a)On poseIn= [xfn(x)]dxetun=fn(x)dx. Prouver queIn=un. 2 0 0
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n+1n t t b)l'intervalleComparer et sur[0; 1]; en déduire que la suite(un)est décroissante. 1 +t1 +t c)Prouver que pour tout réeltappartenant à l'intervalle[0; 1], n t n 0≤ ≤t. 1 +t 2 d)En déduire que pour tout entier natureln2,0un. n+ 1 e)Déterminer alors la limite deInquandntend vers l'infini.
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