ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l'épreuve heures

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Niveau: Secondaire, Lycée

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Session 2004 BACCALAUREAT GENERAL Session 2004 MATHEMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7. 1

  • robot ménager

  • robot

  • durée de vie moyenne des robots

  • point d'affixe ?1

  • réponse inexacte

  • te??t ?

  • ?e??t ? ?


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : maths-france.fr
Nombre de pages : 7
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BACCALAUREAT GENERAL
Session 2004
MATHEMATIQUES
Série S
Session 2004
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefficient : 7
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7.
1
EXERCICE 1 (4 points )
Commun à tous les candidats
On considère la fonctionfdéfinie sur l'intervalle[0; +[par
Son tableau de variations est le suivant :
x
f(x)
0 1
2 2 1x f(x) = 1x e.
1
0
+1
Sa courbe représentativeCet son asymptoteΔ, d'équationy= 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie.
A - Lecture graphique
1)kest un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction dekle nombre de solutions dans l'intervalle[0; +[de l'équationf(x) =k.
1 2)nétant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs denpour lesquelles l'équationf(x) = n admet deux solutions distinctes.
B - Définition et étude de deux suites
1 1)Soitnun entier supérieur ou égal à2. Montrer que l'équationf(x) =admet deux solutions n unetvnrespectivement comprises dans les intervalles[0; 1]et[1; +[.
2)Sur la feuille en annexe, construire sur l'axe des abscisses les réelsunetvnpournappartenant à l'ensemble{2; 3; 4}.
3)
Déterminer le sens de variation des suites(un)et(vn).
4)Montrer que la suite(un)est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite (vn). En déduire que les suites(un)et(vn)sont adjacentes.
2
EXERCICE 2 (5 points )
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O, u , v).idésigne le nombre com-π plexe de module1et d'argument . 2 Soient les pointsA,BetCd'affixes respectivesi,1 +iet1 +i. Soitfl'application qui, à tout pointMdu plan différent deA, d'affixez, associe le pointMdu plan d'affixeztel que :
1)
iz+ 2 z=. zi
a)Déterminer les images deBet deCpar l'applicationf. b)Montrer que, pour tout nombre complexezdifférent dei, on a la relation :
(zi)(zi) = 1.
c)SoitDle point d'affixe1 + 2i. Placer les pointsA,B,CetDsur une figure (unité graphique 4 cm). Déduire de la question précédente une construction du pointDimage du pointDpar l'applicationf.
2)SoitRun nombre réel strictement positif. Quelle est l'image par l'applicationfdu cercle de centreAet de rayonR?
3)
a)Montrer que, si l'affixe du pointMest un imaginaire pur différent dei, alors l'affixe du point Mar l'applicationest un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l'image p fde l'axe imaginaire privé du pointA? −→ b)SoitDla droite passant par le pointAet de vecteur directeuru. Déterminer l'image de la droiteDprivée du pointApar l'applicationf.
3
EXERCICE 3 (5 points )
Commun à tous les candidats
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l'absence de ré-ponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Première partie
Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données : B1, contenant6000adresses, dont120sont erronées et5880sont exactes, B2, contenant4000adresses, dont200sont erronées et3800sont exactes,
1)On prélève au hasard, avec remise,10étiquettes parmi les6000réalisées à l'aide deB1. La probabilité qu'exactement trois de ces étiquettes comport ent une adresse erronée est :     120 5880 + 3 3 7 A: B: 6000 120 10            3 7 3 7 10 120 5880 10 3 7 C:× ×D:× × 3 6000 6000 3 120 5880
2)Parmi les10000ette comporte uneétiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l'etiqu adresse exacte, la probabilité qu'elle ait été réalisée à l' aide deB1est :
A: 0,98
0,4×0,95 B: 0,6×0,98 + 0,6×0,02
C: 0,6×0,98
Deuxième partie
D:
0,6×0,98 0,6×0,98 + 0,4×0,95
La durée de vie, exprimée en heures, d'un robot jusqu'à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilitépde durée de vie sans vieillissement définie sur l'intervalle [0; +[(loi exponentielle de paramètreλ= 0,0005). Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l'instanttest : Z t λx p([0;t[) =λe dx. 0
1)
La probabilité qu'un robot ait une durée de vie supérieure à2500heures est :
2500 A:e 2000
5 B:e 4
2500 C: 1e 2000
4
2000 D:e 2500
2)
La durée de vie moyenne d'un robot ménager est donnée par la fo rmule : Z t λx E= limλxe dx. t+0 Z t λx a)L'intégraleλxe dxest égale à : 0
2 t λt A:λ e 2
λt e1 λt B:te+ λ λ
λtλt C:λteλeλ
b)La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :
A: 3500
B: 2000
C: 2531,24
5
D: 3000
λt e λt D:teλ
EXERCICE 4 (6 points )
Commun à tous les candidats
On désigne parfune fonction dérivable surRet parfsa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propositions suivantes : 2 2 (1) pour tout nombre réelx,[f(x)][f(x)] = 1, (2)f(0) = 1, (3) la fonctionfest dérivable surR.
1)
a)Démontrer que pour tout réelx,f(x)6= 0. b)Calculerf(0).
2)En dérivant chaque membre de l'égalité de la proposition(1), démontrer que : ′′ ′′ (4) pour tout nombre réelx,f(x) =f(x), oùfdésigne la fonction dérivée seconde de la fonctionf.
3)
4)
′ ′ On pose :u=f+fetv=ff. a)Calculeru(0)etv(0). ′ ′ b)Démontrer queu=uetv=v. c)En déduire les fonctionsuetv. xx ee d)En déduire que, pour tout réelx,f(x) =. 2
a)Etudier les limites defen+et en−∞. b)Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
5) a)Soitmun nombre réel. Démontrer que l'équationf(x) =ma une unique solutionαdansR. b)Déterminer cette solution lorsquem= 3(on en donnera la valeur exacte puis une valeur 2 approchée décimale à10près).
6
ANNEXE DE L'EXERCICE 1
A compléter et à rendre avec la copie
7
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