Ensmp 2006 mathematiques i classe prepa pc mathematiques i 2006 classe prepa pc

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premièredesrep2006cMAépreuvTHle.ENSTIM,ItionnerPCTHÉMAÉCOLESi,NAuneTIONALEsaDprendre.ESCyclePONTStETapparenCHaAPC.USSÉES.6ÉCOLESl'épreuvNAluiTIONALESnSUPÉRIEUREScopieDEexpliquanL'AÉRqu'ilONAconcoursUTIQUETPE-EIVPETternationalDEdidatsL'ESPdeAeCE,surDEdeTECHNIQUES:AIVdeANCÉES,compDESdeTÉLÉCOMMUNICAcoursTIONS,unDESceMINESbleDEd'énP,ARIS,surDESpMINESositionDElesSAINT-ÉTIENNE,itiativDESamenéMINESdesDE:NANCY,INT,DES,TÉLÉCOMMUNICAinTIONSLesDEanBRETsonApriésGNE.menÉCOLEdPOLfaçonYTECHNIQUEte(FilièrelaTSI).pageCONCOURSlD'ADMISSIONcopie2006MAPREMIÈRETIQUESÉPREUVE-DL'énoncéEcetteMAeTHÉMAorteTIQUESpagesFilièretexte.PCau(deDuréee,decandidatl'éèrepreuvquiesem:être3erreurheureso)céL'usageild'ordinsignaleateursaouetdeoursuitcalculettecompestenintterdit.raisonsSujetinmisesàestlaàdispAositionmentlarappsurellsoitesusanquetousla1)fonctionetGammatégrableestréelsdéniedespstricour2)tonctionsoréeluDéterminertlesréella.soittifourisurparnécessairessositif.oepptunstrictemen.réelI.toutypourtégrableptdpdconditionsdtesfonctionsinlesourd2dénitinCettefonctionfonctionqueppossèdeleslestesdeuxetpropriétésconditionssuivDétermineranptesmen:tréelpourourréelstoutSoitréeletonOnstrictemen.tFphositif ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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première des rep 2006 c MA épreuv TH le . ENSTIM, I tionner PC THÉMA ÉCOLE Si, NA une TIONALE sa D prendre. ES Cycle PONTS t ET apparen CH a A PC. USSÉES. 6 ÉCOLES l'épreuv NA lui TIONALES n SUPÉRIEURES copie DE expliquan L'AÉR qu'il ONA concours UTIQUE TPE-EIVP ET ternational DE didats L'ESP de A e CE, sur DE de TECHNIQUES : A I V de ANCÉES, comp DES de TÉLÉCOMMUNICA cours TIONS, un DES ce MINES ble DE d'én P , ARIS, sur DES p MINES osition DE les SAINT-ÉTIENNE, itiativ DES amené MINES des DE : NANCY, INT, DES , TÉLÉCOMMUNICA in TIONS Les DE an BRET son A priés GNE. men ÉCOLE d POL façon YTECHNIQUE te (Filière la TSI). page CONCOURS l D'ADMISSION copie 2006 MA PREMIÈRE TIQUES ÉPREUVE - D L'énoncé E cette MA e THÉMA orte TIQUES pages Filière texte. PC au ( de Durée e, de candidat l'é ère preuv qui e sem : être 3 erreur heures o ) cé L'usage il d'ordin signale ateur sa ou et de oursuit calculette comp est en in t terdit. raisons Sujet in mis es à est la à disp A osition men t la rapp sur ell soit e susan que tous la 1) fonction et Gamma tégrable est réels dénie des p stric our 2) t onctions o réel u Déterminer t les réel la . soit tif our i sur par nécessaires s ositif. o e p p t un strictemen . réel I. tout yp our tégrable p t d p d conditions d tes fonctions in les our d 2 dénit in Cette fonction fonction que p p ossède les les tes deux et propriétés conditions suiv Déterminer an p tes men : t  réel p our our réels tout Soit réel et on On strictemen . t F p h ositif, ergéométriques et Soit , un réels stric deux e t t tenan ositif. main des xe nécessaires On susan . sur ; réels  et il p est que admis fonction que sur z > 0 Z ∞ z−1 −tΓ(z) = t e t. 0 z Γ(z +1) = zΓ(z) Z 1 Γ(α)Γ(β) α−1 β−1u (1−u) du = , Γ(α+β)0 α > 0 β > 0 z α β α−1 β−1 −ztt7−→ t (1+t) e +IR z α, β α−1 β−1 −ztt7−→ (−t) (1+t) e , ]−1,0[ α > 0 β > 0 Z +∞ α β −ztK(z) = t (1+t) e t, 0 Z +∞ α−1 β −ztI (z) = t (1+t) e t,1 0 Z +∞ α β−1 −ztI (z) = t (1+t) e t.2 0 z ecteur 3) que Mon équation trer que que linéaire 6). 2 question explicitera. et t, la t à d'un son d t On con n tin une ûmen que t dans dériv ectiv ables mêmes sur fonctions ée est (trouv diéren que Mon tielle d et les que l'on n linéaire e où r sur dié que équation Mon même 3 et l'équation la dénies satisfait emen que resp et relations (S)) les oir satisfon (v les que trer tiel solution diéren système (E) tiel 4) sur Mon 7) trer : que d système fonctions même dénit du explicitera. solution que est d'ordre ecteur tielle v (S) le diére que une (E), est . matrice 5) l'on En 6) déduire trer que satisfait le v ∗I I IR1 2 + 0 0I =−K I =−K +I .21 2 zK = αI +βI1 2 ! I (z)1 I(z) = I (z)2 ∗ R+ 0I (z) =A(z)I(z), A(z) ∗K R+ Z 0 α β −ztL(z) = (−t) (1+t) e t, −1 Z 0 α−1 β −ztJ (z) =− (−t) (1+t) e t,1 −1 Z 0 α β−1 −ztJ (z) = (−t) (1+t) e t.2 −1 J , J , L1 2 I , I , K1 2 ! J1 J = I J2 L K d our our I. d Calcul si du quand W v ronskien que d , e et (S) 10) 8) déduire Mon c'est-à-dire trer t que in p En o tité u tout r p tout réels ronskien trer, W . le 9) et e dénit réels on , , quand s équiv réel tégrale tous cette our déduire P 11) . : ers l'iden v réel tend r quand ou à et t I alen tous équiv p est Mon d si que tend déduire d En En 12) qu . p ers tous v que tend , quand ers à tend te à en alen al est équiv 4 est t > 0 z≥ 1  t β−2 |β−1|(1+t) , β≥ 2, β−1
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