Ensmp 2006 mathematiques ii classe prepa pc mathematiques ii 2006 classe prepa pc

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A 2006 MATH. II PCÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).CONCOURS D’ADMISSION 2006SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUESFilière PC(Durée de l’épreuve : 3 heures)L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.Sujet mis à la disposition des concours :ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle internationalLes candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de lacopie :MATHÉMATIQUES II - PC.L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, ille signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiativesqu’il est amené à prendre.6L’objectif de ce problème est de montrer la propriété suivante: soientdeux familles de réels (a ,k = 1,··· ,n) et (b ,k = 1,··· ,n) satisfaisantk k0
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A 2006MATH. IIPC
ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2006
SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES
Filire PC
(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis À la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :
MATHÈMATIQUES II - PC.
L’nonc de cette preuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.
L’objectif de ce problme est de montrer la proprit suivante: soient deux familles de rels(ak, k= 1,∙ ∙ ∙, n)et(bk, k= 1,∙ ∙ ∙, n)satisfaisant
0< a1akanet0< b1bkbnpour toutk∈ {1,∙ ∙ ∙, n},
les ingalits suivantes sont vrifies: n n P P 2 2 a b k k2 (a b k=1k=1nbn+a1 1) .(1) 1 2n P4a1b1anbn akbk k=1 On dsignera dans tout le problme par: Mn, pl’espace des matrices relles Ànlignes etpcolonnes. On note 0n, p, la matrice nulle. Mn, l’ensemble des matrices relles carres d’ordren. On note0n, la matrice nulle. t Mla transpose d’une matriceM. Sn, le sous-ensemble deMn, constitu des matrices symtriques d’ordre t n, c’est-À-dire les matricesAqui satisfontA=A. Inla matrice identit d’ordren. (X|Y)le produit scalaire de deux matrices colonnes. On rappelle que pour toute matriceAdeMn, pet tout couple de matrices colonnes(X,Y)X∈ Mn,1etY∈ Mp,1:, l’identit suivante est satisfaite
t (AX|Y) = (X|AY).
Definition 1Une matriceAest dite positive lorsque pour toutXdeMn,1, (AX|X)0. Une matriceAest dite dÉfinie positive lorsque pour toutX6= 0 deMn,1,(AX|X)>0.
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I. PrÉliminaires
Dans cette partie,Aest un lment deSn.
1) MontrerqueAest positive si et seulement si les valeurs propres deA sont toutes positives.
2) MontrerqueAest dfinie positive si et seulement siAest positive et inversible.
3) SiAest dfinie positive, montrer qu’il existe une matriceC, symtrique 2 dfinie positive telle queC=A.
2 4) SiAetCsont symtriques dfinies positives etC=A, montrer que, pour toute valeur propreλdeA, on a: Ker(AλIn) =Ker(CλIn).
5) Endduire que siAest dfinie positive, il existe une unique matrice 2 symtrique dfinie positive telle queC=Aet que dans toute base de vecteurs propres deA,Cest diagonale.
1/2 On notera dsormaisC=A.
6) OnsupposeAdfinie positive. Montrer qu’il existe une unique matrice, 1/21/21/21 noteA, symtrique dfinie positive telle queA A=A.
1/211/2 7) Prouverque(A) =A.
8) SoitBune matrice symtrique positive qui commute avecA. Est-ce que 1/2 1/2 AetBcommutent ?
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II. InÉgalitÉdeKantorovitch
Dans cette partie,Aest une matrice fixe deSn, dfinie positive. On range les valeurs propres deA, rptes suivant leur multiplicit, dans l’ordre croissant :0< λ1. . .λn. On notemetMdeux rels strictement positifs tels quemλ1etλnM.
9) Pourtout lmentX∈ Mn,1:, montrer l’ingalit suivante 21 (X|X)(AX|X)(A X|X).
(2)
10) Quellessont les matrices pour lesquelles cette ingalit est une galit pour toutXdeMn,1?
SoitFla fonction polynomiale qui À toutsdeIRassocie 2 F(s) =s(m+M).s+mM.
11) Quellessont, en fonction de celles deA, les valeurs propres de la ma-triceF(A)?
12) Montrerque toutes les valeurs propres deF(A)sont de mme signe. Prciser ce signe.
13) SoitNla matrice dfinie par   1 N=A(m+M) In+.mM A Montrer queNest symtrique positive.
Pour tout lmentX∈ Mn,1, on considre l’application polynomialef deIRdansIR:dfini par 21 f(s) = (AX|X).s(m+M)(X|X).s+ (A X|X)mM.
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14) Calculerf(0)etf(1)et montrer quef(0)f(1)0.
15) tablirque pour toutX∈ Mn,1, l’ingalit suivante est satisfaite: 2 (m+M) 1 2 (AX|X)(A X|X)(X|X).(3) 4mM
2 16) SoitD={(m, M)IR/0< mλ1λnM}. tablir l’identit suivante : 2 2 (m+M) (λ1+λn) inf =. mM λ1λn D
17) Onsuppose queAn’est pas une homothtie. On considreX1(respecti-vementXn) un vecteur colonne propre, de norme 1, pour la valeur propre λ1(respectivementλn). On poseX=X1+Xn. Calculer 1 (AX|X)(A X|X) . 2 (X|X)
18) Quepeut-on en dduire sur l’ingalit (3)?
III. InÉgalitÉdePlya-Szeg
On suppose dornavant queA1etA2sont deux matrices symtriques, dfinies positives qui commutent. On notemi(respectivementMi), la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre deAi, pouri= 1,2.On 1 poseD=A1A . 2
19) Dterminerun relαtel que pour tout lmentXdeMn,1, l’ingalit suivante soit satisfaite:
1 2 (DX|X)(D X|X)α(X|X).
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1/2 1/2 20) Exprimer(D(A1A2)X|(A1A2)X)en fonction deA1X, pour tout X∈ Mn,1.
21) Montrerque pour toutX∈ Mn,1:, l’ingalit suivante est satisfaite
2 (A1X|A1X)(A2X|A2X)α(A1X|A2X).
22) tablirla relation (1).
FIN DU PROBLME
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