Ensmp 2006 physique i classe prepa mp physique i 2006 classe prepa mp

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‰ A 2006 PHYS. I MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière MP (Durée de l'épreuve : 3 heures) L’usage de la calculette est autorisé Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : PHYSIQUE I -MP L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques qui vous semble-ront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES : MORCEAUX CHOISIS L’épreuve est constituée de deux parties indépendantes ; elle concerne d’abord la propagation d’ondes électromagnétiques dans une fibre optique (domaine infrarouge proche), ensuite la pro-duction de rayonnement électromagnétique par une antenne ou par un réseau d’antennes (micro-ondes, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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A 2006 PHYS. I MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINTÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2006 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures) L’usage de la calculette est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPEEIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques qui vous semble ront pertinents. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES : MORCEAUX CHOISIS
L’épreuve est constituée de deux parties indépendantes ; elle concerne d’abord la propagation d’ondes électromagnétiques dans une fibre optique (domaine infrarouge proche), ensuite la pro-duction de rayonnement électromagnétique par une antenne ou par un réseau d’antennes (micro-ondes, de fréquences comprises entre 300 MHz et 300 GHz environ).
Dans tout le problème, exprimer signifie donner l’expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.
Données générales : 121 ε permittivité diélectrique du vide,ε8, 84×10 F.m00 7161 µmagnétique du vide, perméabilité µ=4π×10 H.m1, 26×10 H.m00 812 c vitesse de la lumière dans le vide,c3×10 m.s(ε µc=1). 0 0 Préliminaire
‰1– Quelle est, exprimée en longueur d’onde, la bande spectrale des micro-ondes ? Quel phy-
Propagation des ondes électromagnétiques
sicien fut le premier à produire expérimentalement et détecter des ondes électromagnétiques de fréquence de l’ordre du GHz, en 1887, confirmant ainsi la théorie de J. C. Maxwell ? À quel domaine de longueur d’ondes le rayonnement proche infrarouge appartient-il ?
I – Guidage par fibre optique On considère (Fig. 1) un guide d’ondes diélectrique constitué de deux cylindres concentriques de section circulaire, et constitués l’un et l’autre de matériau isolant (la silice). L’indice de réfraction de la partie centrale, appelée cœur, est noténindice n’est pas (cet 1 nécessairement uniforme) ; l’indice de la partie périphérique, appelée gaine, est notén, avec 2 n<n; l’indice de gaine est uniforme. Le milieu extérieur est l’air, assimilé au vide et donc 2 1 c d’indice égal à 1. On note la fréquence des ondes, leur pulsation etλ=leur longueur
d’onde dans le vide.
I – 1 Fibre optique à saut d’indice
Dans une fibre à saut d’indice, le cœur (de diamè-trea) et la gaine sont des milieux homogènes :n1 etnsont uniformes. On notezla direction géné-2 rale de propagation (Fig. 2).
‰2– Montrer que le rayon lumineux est guidé dans le cœur (c’est-à-dire qu’il n’en sort pas) siθest supérieur à une certaine valeur,θ,que l’on exprimera en fonction denet den. Calculer L1 2 θpour une fibre d’indice de cœurn=1, 456entourée d’une gaine d’indicen=1, 410.L1 2
‰3– On noteil’angle d’entrée du rayon à l’extérieur de la fibre (Fig. 2). Exprimer, en fonc-tion de=nn(<<n)etn,la valeur maximale dei(notéei) pour que le guidage 1 2max2 1 soit assuré dans la fibre. Calculersin(i)(appeléeouverture numérique). max
Introduction aux questions 4 à 8
La conditionθ>θ est nécessaire mais non suffisante pour rendre compte du détail de la L propagation dans la fibre. Anticipons sur les résultats de l’approche ondulatoire en introduisant, 1 de manière empirique à ce stade, une phase associée aux rayons : les ondes planes associées aux
1 Des travaux relativement récents justifient cette procédure, qui semble paradoxale.
PhysiqueI année 2006 ; filière MP rayons totalement réfléchis interfèrent. Seuls certains angles d'inclinaison satisfont une condition de phase qui construit une interférence identique tout le long de l'axe de propagation ; ils correspondent aux modes guidés. Considérons (Fig. 3) la direction de propagation parallèle à AB et à CD et le plan d’onde(π)relatif à cette direction. Pour qu’il y ait propaga-tion, il faut que les champs correspondant à cette direction soient en phase.
‰4ne tient pas compte de l’éventuel déphasage– On introduit par la réflexion sur l’interface cœur/gaine. Montrer alors que le déphasageentre a l’amplitude de l’onde en P et l’onde en P´s’exprime parϕ=4πncos(θ).1 λ 0 ‰5– En déduire l’existence de modes de propagation, valeurs discrètes deθnotées oùmm est un entier, pour lesquelles la propagation est possible. Exprimer le nombreNmodes de possibles, en fonction den,n,aetλ. L’entiermest appelé l’ordre du mode. 1 2
‰6diamètre de cœur– Le a étant donné, démontrer l’existence d’une fréquence de coupure pour le mode d’ordrem.Préciser le comportement fréquentiel du dispositif.
‰ 7– Le mode fondamental correspond, par définition, àm=0.puis calculer pour Exprimer, 6 λ=1, 5×10 mla valeur maximale que peut prendreapour que seul ce mode se propage. On dit alors que la fibre estmonomode.
‰8– SoitLlongueur de la fibre. Exprimer la différence la Ttemps de parcours de de l’entrée à la sortie, entre le trajet de durée minimale(θ=0) et le trajet maximal(θ=θ). Donner l’expression approchée deTen fonction seulement deL, etc. On convient que le saut saut débit maximal de la fibre,R,est l’inverse deT. Calculer (bits par seconde). max max
Introduction à la partie I – 2 Dans les fibres optiques utilisées en télécommunications, un mes-sage (Fig. 4) est constitué d'une succession de signaux (on dit quelquefois impulsions) binaires (présence,[0ou absence[1) de durée égale,δ. Le débit numérique maximal, exprimé en signaux saut.ind1 par seconde, est alorsR. Divers phénomènes distordent max
les impulsions qui se propagent, ce qui entrave la reconstitution de l’information. On améliore la situation en utilisant une fibre ditegradient d’indice à . L’indice de réfraction est continu à
Propagation des ondes électromagnétiques
1 l’intérieur de ce genre de fibre ; il varie dans le cœur avec la distancer à l’axe Oz et il est constant dans la gaine(ra),avec la valeurn.L’indice dans le cœur (Fig. 5), est modélisé, 2 2 2 nnr1 2 pour0ra, parn(r)=n1F, oùF1 2⎜ ⎟ na1 est monotone croissante sur[0,1, avecF(0)=0.
constant.
I – 2 Fibre optique à gradient d’indice
‰9admet que la loi de Descartes est applicable de– On proche en proche, c’est-à-dire quen(r)sinθ(r) est ⎣ ⎦
différentielle donnant sa trajectoire dans la fibre s’écrit
Un rayon lumineux entre dans la fibre au centre de la face d’entrée, avec un angle externe d’incidencei ; il se dirige à l’intérieur de la fibre vers lesrcroissant avec un angle interne + θpoint ( au z=0,r=0), de 0 sorte quesin(i)=ncos(θ). 1 0. Montrer que ce rayon se propage dans un plan et que l’équation
2 2 drn(r) 1+ = [1]. ⎜ ⎟2 2 dzn1sinθo ‰10est la valeur de– Quelle F(1)? Retrouver l’expression de l’ouverture numérique (cf. question 3), à partir de l’équation différentielle [1] et de l’expression générale de l’indice.
‰11– En considérant le portrait de phase associé à [1], montrer que la tra-jectoire des rayons,r(z),est une fonction périodique dez.
‰12– Dans une fibre à gradient d’indice de longueurL,différence de temps de parcours la 2 1nnL 1 2 entre le trajet minimal et le trajet maximal estT′ =n. Déduire de cette rela-1⎜ ⎟ 2n c 1
1 En réalité, il est constant par morceaux autour de l’axe de révolution.
PhysiqueI année 2006 ; filière MP grad.ind. R max tion le débit numérique maximal (cf. question 8). Exprimer et calculer.saut R max
FIN DE CETTE PARTIE
II – Antennes rayonnantes JG G Un dipôle élémentaire variabled (t)= ⎡dp(t)u, placé en O, ⎣ ⎦ z parallèle à Oz (Fig. 7), rayonne à grande distance un champ électromagnétique dont la composante électrique est notéeJGG 1 dp(tr/c) dE(M,t)=sin(θ)uθ, 2 4πεc r o JJGJJG avecOM=r etu etu vecteurs unitaires associés aux coor-z donnéesθetz;ddésigne la dérivée seconde dedpar rapport au temps.
II – 1 Rayonnement à grande distance
‰13– Définir la zone de rayonnement et rappeler les hypothèses conduisant à l’expression ci-dessus du champ rayonné.
‰14– Une antenne (Fig. 8) est constituée d’une tige métalli-que rectiligne fine, de longueur2L, parcourue par le courant (z,t)=If(z) cos(ωt), où la fonctionfindéterminée à est o ce stade. On note(z,t)= ℜe[I(z,t). Exprimerd(t)dérivée temporelle du moment dipolaire élémentaire associé à l’élémentdz d’antenne placé en P(OP=z), en fonction de (z,t)et dedz.
‰15On s’intéresse au champ rayonné à grande distance par cette antenne, avec notamment rL. On adopte la notation complexe standard. Montrer que le déphasage entre le champ JJGJG JJG élémentaired (M,t)produit en M par le dipôledplacé en P, et le champd (M,t)pro-P O z duit en M par le dipôle placé en O est, à l’ordre le plus bas en ,=zcosθ.r c
‰16– En déduire l’expression, sous forme d’une intégrale faisant intervenirf(z), du champ JG E(M,t)produit à grande distance par l’antenne entière. Identifier ainsi une onde sphérique.
Introduction à la partieII – 2
Propagation des ondes électromagnétiques
On s’intéresse aux antennes demi-onde, ainsi nommées parce que leur longueur2Lest égale à la demi-longueur d’onde du rayonnement qu’elles 1c émettent :2L=, oùλ=2π.2ω
II – 2 Antenne dipolaire
‰17–On choisit (cf. question 14) z⎞ ⎛zf(z)=cosπ=cos 2π.⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2L⎠ ⎝λπcos cos(θ) JG⎢ ⎥G 1I2⎡ ⎛r⎞⎤ 0⎣ ⎦ Montrer que, dans ces conditions,E(M,t)= −sinωtu, qui ⎢ ⎜ ⎟⎥ πε θ 2c rsin( )⎣ ⎝c⎠⎦ 0 πcos cos(θ) JG⎢ ⎥G i I⎡ ⎛⎣ ⎦ r⎞⎤ 02 correspond, en notation complexe, àE(M,t)=expiωtuθ.⎢ ⎜ ⎟⎥ 2πεc rsin(θ)⎣ ⎝c⎠⎦ 0 ‰18– Rappeler la structure de l’onde rayonnée à grande distance et justifier de ce fait la rela-JGJGJG 1GG tion(M,t)=uE(M,t), oùuest le vecteur unitaire radial ( a son sens usuel). Donner r r c JG l’expression du vecteur de PoyntingΠ.
‰19– On rappelle que l’aire d’une portion de sphère de rayon ret d’extensions angulaires(dd , ϕ)autour de(θ,ϕ)(Fig. 2 10) estdS=rsin(θ)dθdϕ; sachant que 34 π sin(θ)dθ=, établir l’expression suivante de la 0 3 puissance moyenne totale rayonnée par l’antenne demi-onde
ππ 2⎡ ⎤ cos cos(θ) 2 2 ⎢ ⎥ 1I 02A0 P=dθ=. r 4πεcsin(θ)4πεc 0 0 0 2ππ cos cos(θ) ⎢ ⎥ 2‰20– Calculer l’intégraleA=dθà l’aide de votre calculette (ne pas cher-sin(θ) 0 cher sa forme explicite) ; vérifier votre calcul en vous aidant de la Fig. 11, qui représente
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