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CONCOURSCOMMUN2005DESÉCOLESDESMINESD’ALBI,ALÈS,DOUAI,NANTESÉpreuvedeMathématiques(toutesfilières)Jeudi19mai2005de14h00à18h00Instructionsgénérales:Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4.Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles oumal présentées seront pénalisées.Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspon-dante.L’emploid’unecalculatriceestinterditPROBLÈMED’ALGÈBREETDEGÉOMÉTRIELes quatre partiesA,B,C,D de ce problème sont totalement indépendantes entre elles.Dans tout ce problème, on se place dans l’espace usuel muni d’un repère orthonormé direct −→ −→ −→R = O, i , j , k . On note E l’ensemble des points de l’espace et E l’ensemble des vecteurs del’espace. Les différentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l’énoncé sont relatives aurepère R.−→ −→ −→−→ −→Si X = x i +y j +z k , on pourra aussi noter X = (x,y,z).−→ −→ −→Si α,β et δ sont trois réels fixés et si u , v et w sont trois vecteurs fixés de E, on note f−→l’application linéaire de E dans E définie pour tout vecteur X de E par −→ −→ −→ −→−→ −→ −→f X = α X · u v +βX +δX ∧ wA-Etudedel’intersectiondedeuxplansmobilesetd’unplanfixe y = z−→ −→ −→ −→On note D la droite passant par O dirigée par a = i + j + k , D la droite d’équations ,x = 1Q le plan d’équation y+z = 0 et enfin, pour tout réel m, P est le plan ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CONCOURS COMMUN 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES
Épreuve de Mathématiques (toutes filières)
Jeudi 19 mai 2005 de 14h00 à 18h00
Instructions générales:
Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspon-dante.
L’emploi d’une calculatrice est interdit
PROBLÈME D’ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE
Les quatre partiesA, B, C, Dde ce problème sont totalement indépendantes entre elles. Dans tout ce problème, on se place dans l’espace usuel muni d’un repère orthonormé direct   R=., k, jO, iOn noteEl’ensemble des points de l’espace etEl’ensemble des vecteurs de l’espace. Lesdifférentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l’énoncé sont relatives au repèreR. −→ −→−→ −→−→ SiX=x i+y j+z k ,on pourra aussi noterX= (x, y, z). −→ −→−→ Siα, βetδsont trois réels fixés et sivu ,etwsont trois vecteurs fixés deE, on notef −→ l’application linéaire deEdansEdéfinie pour tout vecteurXdeEpar    −→ −→−→ f X=α Xu v+β X+δ Xw
A - Etude de l’intersection de deux plans mobiles et d’un plan fixe y=z −→ On noteDla droite passant parOdirigée para=i+j+k , Dla droite d’équations, x= 1 Qle plan d’équationy+z= 0et enfin, pour tout réelm, Pmest le plan d’équationx+mymz= 1. −→ A - 1)Donner un vecteur normalnmdePmainsi qu’un point et un vecteur directeur deD. Vérifier que tous les plansPmcontiennent la droiteD. −→ −→−→A - 2)Calculerrm=nma .En déduire queDn’est pas orthogonale àPm.On appelle alorsRm l’unique plan contenantDet perpendiculaire àPm.Obtenir une équation cartésienne deRm. A - 3)Déterminer, pour tout réelm,les coordonnées dansRdeImpoint d’intersection des plans Pm, QetRm.   2 2 21 A - 4)On note(S)d’équationx+y+z=xetle point deQde coordonnées,0,0. 2 Préciser la nature géométrique de(S)ainsi que les éléments géométriques qui le caractérisent. CONCOURS COMMUN SUP 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Page 1/4 Épreuve de Mathématiques (toutes filières)
A - 5)Vérifier queImappartient à(S)puis queImappartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
A - 6)Déterminer l’ensembleFdes pointsMdeEpar lesquels passe un et un seul planPm. Quelle est la réunion des plansPmlorsquemdécrit IR?
B - Etude d’un exemple d’applicationf −→ −→ −→−→ −→−→ −→ −→−→ Dans cette partieB, on prendu=v=i+j+wk ,=j+k5i , α= 3, β=3etδ= 1.
B - 1)Vérifier quef(x, y, z) = (4y+ 2z, d, e)où l’on exprimeradeteen fonction dex, yetz. B - 2)Déterminer une base et la dimension du noyau def. fest-il un automorphisme deE? B - 3)Obtenir le rang deEnoncer complètement le théorème du rang.f. B - 4)Montrer, dans le cas général, que siϕest une application linéaire définie sur le IR-espace −→ −→−→ vectorielGGest engendré par les vecteurse1, e2ete3,alors l’image deϕest le IR-espace −→ −→−→ vectoriel engendré par les vecteursϕ(e1), ϕ(e2)etϕ(e3). B - 5)Déterminer une base de l’image def.      −→ −→−→ B - 6)Montrer queB=i ,f if f, iest une base deE.   Obtenir ensuite la matriceAdefdansB.   B - 7)Sachant que la matrice de passagePde la baseBà la baseB=j , ki ,est l’une des deux matrices suivantes :    16 01 02 1 1    P1=;8 2 0P28 4= 0 32 16 40 323216 préciser, en argumentant votre choix, laquelle estP. Donner le lien matriciel reliantA=MB(f)àA=MB(f).
C - Etude d’un deuxième exemple Dans cette partieC, on prendu=v=i+j+αk ,=3, β= 5etδ= 0.   233     On admet qu’ alorsM=3 23est la matrice defdans la baseB=.j , ki , 33 2   1 0 0 0   On rappelle que, par convention, on noteM=1 0= 0I3. 0 0 1
C - 1)Prouver, par récurrence surn,que pour tout entier natureln, on peut trouver deux réels (qu’on noteraanetbn) tels que   anbnbn n   M=bnanbn b b a n n n
On obtiendra ainsi les relations définissantan+1etbn+1en fonction deanet debn.
C - 2)En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier quenIN, bn+2bn+120bn= 0.
C - 3)En déduire la valeur debnpuis celle deanen fonction den.
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2 C - 4)Vérifier queMest combinaison linéaire deMet de la matriceI3. 1 En déduire queMest inversible et expliciter les coefficients de la matriceM .
D - Etude d’un troisième cas Dans cette partieD, on prendβ=δ= 0.On renomme alorsgl’applicationfde l’introduction, soit    −→ −→−→ XXE, g=α Xu v
uetvsont deux vecteurs non nuls fixés deEet oùαest un réel non nul.
D - 1)Vérifier que siα(uv) = 1, alorsgest un projecteur. Démontrer ensuite que sigest un projecteur, alorsα(uv) = 1.   D - 2)On suppose queα(uv) = 1.On noteF1=XuE /X= 0etF2={λ v /λIR}. Vérifier queF1etF2sont supplémentaires dansE(l’écriturex= (xg(x)) +g(x)pourra être utile). Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autregest-elle alors la projection ?   D - 3)A l’aide des deux questions précédentes, trouver la matriceΠBdans la baseB=j , ki ,   −→ de la projectionpsurP=X= (x, y, z)E/x+y+z= 0parallèlement à la droiteD −→ −→−→ engendrée parj+k5i .
PROBLÈME D’ ANALYSE
x A - Etude de la fonctionftelle quef(x) = 0six= 0etf(x) =sinon ln (x)
A - 1)Obtenir l’ensemble de définitionDdef.
A - 2)fest-elle dérivable en0 ?
1 A - 3)Justifier quefest de classeCsur1[[0 ;.
A - 4)Dresser le tableau de variations def. On y fera apparaître les différentes limites et la valeur def(e).
vn B - Etude de la suitevtelle quev0= 3etnIN, vn+1= ln (vn)
B - 1)Montrer quenIN, vne. B - 2)Justifier que la suitevconverge et déterminer sa limite. 1 B - 3)Montrer quexe,0f(x). 4 B - 4)Enoncer l’inégalité des accroissements finis. 1 B - 5)Montrer quenIN,|vne| ≤. n 4 5 B - 6)Sachant que4>1000,déterminer un entiern1à partir duquelvnest une valeur approchée 12 deeà10près. CONCOURS COMMUN SUP 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Page 3/4 Épreuve de Mathématiques (toutes filières)
2 x1 C - Etude de la fonctiongtelle queg(x) = xln (x)
2 2 1 +x1x C - 1)On admet que, surD\ {0}, g(x) =h(x)avech(x() = lnx) +. 2 2 2 xln (x+) 1x Etudier les variations deg.
C - 2)Déterminer la limite degen1.
C - 3)Déterminer la position relative de la courbe représentative degpar rapport à celle def. Déterminer l’aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives defet degainsi que par les droites d’équationx= 2etx=e.
D - Tracé d’une courbe paramétrée x(t) =f(t) On considère(Γ)la courbe donnée par le paramétrage y(t) =g(t)
pourtdécrivantD\ {0}.
D - 1)Déterminer les asymptotes de(Γ)ainsi que la position relative de(Γ)par rapport à celles-ci.
D - 2)Tracer la courbe(Γ)en précisant la tangente au point de paramètret=e.
E - Solutions d’une équation différentielle 22 On note(E1)l’équation différentiellex z(x) +xz(x) =z(x). On recherche les fonctionszsolutions de(E1)surK+= ]1 ;[et qui ne s’annulent pas surK. 1 E - 1)On posey=.Vérifier queyest solution surKd’une équation différentielle linéaire du z premier ordre(E). 2 ln (ax) E - 2)Résoudre(E2)surK.On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la formega:x. x x Vérifier que, poura >1, gane s’annule pas surK.On a donc ainsiz(x) =. ln (ax) x E - 3)Poura >0,on note(Ca)la courbe représentative de la fonctionfa:x. ln (ax) Montrer que(Ca)est l’image de(C1)par une homothétie de centre0dont on précisera le rapport.
F - Etude d’une fonction définie à l’aide d’une intégrale x 1 On poseH(x) =f(t)dt. x 0 F - 1)Déterminer l’ensemble de définitionJdeH. F - 2)Etudier la limite deHen0. F - 3)Justifier qu’il existe un réeladans]0 ;1]tel que 3 1 x[a; 1[,(x1)ln (x)(x1) 2 2 En déduire la limite deHà gauche en1.
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