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CONCOURS COMMUN 2006 ´ ` DES ECOLES DES MINES D’ALBI, ALES, DOUAI, NANTES ´ EpreuveSp´eciquedeMathe´matiques (li`ereMPSI) Vendredi12mai2006de08h00`a12h00 ——————————————————————— Instructionsg´en´erales: Lescandidatsdoiventv´erierquelesujetcomprend4pagesnume´rot´ees1/4,2/4,3/4,4/4. Lescandidatssontinvit´es`aporteruneattentionparticuli`erea`lar´edaction:lescopiesillisiblesoumal pr´esente´esserontp´enalise´es. Lescandidatscollerontsurleurpremie`refeuilledecompositionle´tiquettea`code`abarrescorrespondante.
L’emploi d’une calculatrice est interdit.
Bare`meindicatif:10pointspourchaqueproble`me Probl`eme1:Analyse kDanstoutleprobl`eme,onadoptelanotation`n(x)( aveckNetx]0,+[)octureecrimme´ k 0 simplie´edunombrer´eel(`n(x))et par convention, on pose :`n(x) = 1( y compris six= 1).
Partie1:´etudedunarcparam´etr´e 3 2 Pourtoutnombrere´elstrictementpositift, on pose :x(t) =t.`n(t)ety(t) =t.`n(t). Onpose´egalementx(0) =y(0) =λR. Onsouhaite´etudierlarcparame´tre´f:t7→(x(t), y(t)). Leplanusueldelag´eom´etrieestmunidunrepe`reorthonormalR= (O,~ı, ~). + SoitCedceosoprodionntesndsuepmlbanldel´nees(x(t), y(t))lorsquetecd´triR.
1)Pour quelle valeur deλles fonctionsxetysont-elles continues en0? On suppose dans la suite queλprend cette valeur. 0 0 2)renirus,D´eterm]0,+[s´veel,foestincsdonri´exety.iu´spierletudigneeurs 3)tcnosnoisddexfeuatrinsioennoDmnusnadrbltameˆevaesuleaxety. Dans ce tableau devront figurer les limites aux bornes, ainsi que les valeurs dexetyaux points particuliers. n n Cesvaleursserontdonne´essouslunedestroisformessuivantes:nbien avec, ounZ. 2 3 e e 4)or,luerqnoleuesqertnoM´reebmerluest au voisinage du nombre0, on a :   3 23 x(1 +u)u y(1 +u) =u+o u Ende´duirequeluniquepointsingulierdelarc,obtenupourleparame`tret=t0rmteerin`´eadtse,nu pointderebroussementdontonpr´eciseralanature.Repr´esentersurunsch´ema,sanse´tudesuppl´ementaire, l’allure deClorsquetest au voisinage det0er.gu,litmseiennniopuaetnegnatalceenidevn´teantt y(t) 5)mitiellsnireetmrD´eeloesqursttend vers+puis vers0a`(oinelafonctdroite)dt7→. x(t) Conclurequanta`lanaturedelabrancheinniedelarcainsiquesurlexistencedunedemi-tangente`a larcaupointdeparam`etret= 0. 6)a)etsrceitnDo´eedterminerlespointsdinCavec la droiteΔoitandqu´ey=x. 6)b)TracerCtie´runuihuqrgpa,enpntporena.cme4 23 Ondonnelesvaleursapproche´essuivantes(`a0,01pr`es):e'0,14ete'0,05
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Partie 2 : calcul de primitives Soientαcndtsiiteedler´rnombune1etxrtseuqnocleuqleer´rembnounpositif.ictement Z x 1 α n Pour tout nombre entier naturelnnelerbmoisnore`dle:rnece,´oZn(x) =t `n(t)dt. n! 1 7)CalculerZ0(x)etZ1(x). 8)Dinrmte´ererenureletaoientnZn+1(x)etZn(x). 9)Montrer : " #  n+1n n+1k X k 11`n(x) α+1 Zn(x) =x α+ 1α+ 1k! k=0 n 10)On noteNemblensldse´itnoofcndeseienurss]0,+[ivantdutypesu`alee´,selelavrsru α α x7→p(`n(x)).x ou`pesulpcaeoeu`(tnrsceis)de´eel´eaudegrnofenutslopnoitcleiaomynnqcoelqun. n n Montrerquetoutefonctione´le´mentdeNamdteaumoinsuneprimitvi´elee´emtnedN. α α+1
Partie3:r´esolutionde´quationsdi´erentielles Danstoutecettepartie,les´equationsdi´erentiellesconside´r´eesseront,saufmentioncontraire,r´esolues sur]0,+[:cuqeolesiceingissien´esdontilurusseq´ereintnnessnostcoifxnouua]0,+[a`te valeursre´elles. Soitαnnubrom´eerdoelnne´. Onconsid`erelesdeux´equationsdie´rentiellessuivantes: 0200 02 (E1) :x.yα y= 0; (E2) :x .y+ (12α)x.y+α y= 0 ou`yeelleriabler´uedelavaninonnocilppitacesatlx >0tea`avels.leel´esrur 1 11)saesdeclionsonctlesfsetuotrenimrete´DCsur]0,+[ue`srvalallse´reetionsolusde(E1). 2 12)a)Soith:]0,+[Rune application quelconque de classeC. Ond´enitalorsunenouvelleapplication: k:R−→R u u7k(u) =h(e) 2 Justifier quekest de classeCsurR. 0 00 PouruR, exprimerk(u)etk(u)`alaiir´veepsededdse´seetndcomirere`eedeh. 200 02 12)b)Montrer quehest solution de(E2)(ca--`ste:iderx >0, x .h(x)+(12α)x.h(x)+α h(x) = 0) si et seulement si on a : 00 02 uR, k(u)2α k(u) +α k(u) = 0 12)c)ednoisseDprexlerinrmte´ek(u)pouruRlorsquehest solution de(E2). 1 12)d)sedeulossnelbmereuielquEnedd´tionsde(E2)est l’ensembleN(cf.partie 2) α 13)a)nOocoita:nlapplicnsid`ere ∞ ∞ P:C(]0,+[,R)C(]0,+[,R) 0 y7x.yαy 1n+1n On pose :P=Pet pournN,P=PP. 2 1 Poury∈ C(]0,+[,R), calculer(PP)(y)E.dne´udri:eP(y) = 0y∈ N. α n 13)b)Mrtnoapree´rrrrucquepenceoutourtnN,P(y) = 0tiuaeqe´er´dionelleitneerdrodtsnuen du type n1 X n(n)k(k) x .y+akx .y= 0 k=0 ( aveca0, . . . , an1esr´eelsdesnombrre)inrmte´eads`paraehcrehcennoleuq n 13)c)Montrer que, pournNlen,i´erentielleedsne´ltauqdnoimbsedeleolssioutP(y) = 0est n1 N. α
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