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CONCOURS COMMUN SUP 2000 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve spécifique de Mathématiques (filitre MPSI) Mardi 23 mai 2000 de 08h00 ii 12h00 Instructions gbnéraies : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4,2/4,3/4 et 414. Les canddats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur premi&re feuille de composition l’étiquette correspondant à l’épreuve et figurant sur leur convocation. PROBLÈME D’ANALYSE a Co (W, IR) est la W-algèbre des fonctions continues de R dans W. a L’objectif du problème est d’étudier les ensembles % et gsuivants : %= { f E Co (a’ a) / wx, y) E WZ7 f(x + Y) + f(x - Y) = 2f(X)f(Y) 1 * 9 est la partie constituée des élémentsfde % tels que : f n’est pas la fonction identiquement nulle. f s’annule au moins une fois sur B. PARTIE 1 1. Montrer que la fonction cosinus est dans l’ensemble %. 2. On note ch la hyperbolique et sh la fonction sinus hyperbolique. Démontrer la formule : V(x, y) E Wz, ch(x + y) = chx ch y + sh x sh y . En déduire que la fonction ch est dans l’ensemble %. 3. Soitfdans 55’ montrer que pour tout réel a, la fonction fa de W vers B définie par : x H fa(x) = f(a x) est dans %. 4. On fixe un élémentfde %. En donnant à x et ày des valeurs particulières, prouver que : a. f(0) vaut O ou 1. b. Si f(0) = 0, alors f est la fonction identiquement nulle. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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