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CONCOURS COMMUN 2001 DES ECOLES MINES D’ALBI, ALE&, DOUAI, NANTES Epreuve de Mathématiques (toutes filières) . 14hOOàl8hOQ ,Jeud~l7mm2OOlde Les candidats doivent vérifkr que le sujet comprend : 4 pages numérotées 1/4,2/4,3/4 et 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur premihe feuille de composition l’étiquette à code à barres correspondante. PROBLEME 1 Les parties A et B aont indépendantes, mais sont utihées par la partie C. PARTIE : Pour tout réel a positif ou nul, on note ga la fonction définie sur IR: par ga(t) = ta. A.1. Montrer que la fonction ga est prolongeable par continuité en 0 (on notera toujours ga la fonction ainsi Prolongée, qui est donc définie et continue sur lR_+_). Préciser la valeur de ga(0). Montrer que la fonction ga est de classe C1 sur R+ pour a 2 1. Soient a et b deux réels positifs ou nuls. On pose 1 I(a, b) = gtz(t) &‘b(l - t) ch . . . J 0 A.2. Justifier l’existence de l’intégrale I(a, b). Comparer I(a, b) et I(b,a). 1 On écrira abusivement I(a, b) = ty1 - t)b &. J A.3. Soient a et b deux Gels pos:tifs ou nuls. Trouver une relation entre I(a + 1, b) et . I(a, b + 1). A.4. Calculer I(a,O). E n d é d uire que, pour tout entier naturel n, on a I(a, n) = (a+l)(a+2~.‘..(a+n+l)s A.S. Soient p et q deux entiers naturels. Exprimer I(p, q) à l’aide de factorielles. Epreuve de MathÇmatiques ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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