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CONCOURS COMMUN 2004 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Mercredi 19 mai 2004 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. ts sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspondante. L’emploi d’une calculatrice est interdit Barème indicatif : 10 points pour chaque problème Premier problème I. Résolution d’équations différentielles ′1. Résoudre l’équation différentielle : zz+tht=0 , où z est une fonction de la variable réelle t à valeurs réelles. Trouver la solution z de cette équation telle que z()01= . 1 1′2. zz+tht=ttht. z de cette équation telle que z()00= . 2 2CONCOURS COMMUN SUP 2004 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Page 1/4 \\\6II. Etude d’un arc paramétré Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la courbe (Γ) représentée ⎧xt()=t − tht⎪⎪⎪paramétriquement par : ⎨ 1⎪yt()=⎪⎪ cht⎩3. Démontrer que (Γ) admet un axe de symétrie. 4. Etudier les branches infinies de (Γ). 5. Etudier les variations de x et y ; faire un tableau. 6. Préciser la nature du point A d’abscisse 0, ainsi que la tangente ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CONCOURS COMMUN 2004 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve Spécifique de Mathématiques (filière MPSI) Mercredi 19 mai 2004 de 08h00 à 12h00 Instructions générales : Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspondante.
L’emploi d’une calculatrice est interdit
Barème indicatif : 10 points pour chaque problème Premier problème I. Résolution d’équations différentielles 1.Résoudre l’équation différentielle :z+ztht=0 ,zest une fonction de la variable réelletà valeurs réelles. Trouver la solutionzde cette équation telle quez(0)=1. 11 2.Résoudre l’équation différentielle :z+ztht=ttht. Trouver la solutionzde cette équation telle quez(0)=0 . 2 2
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II. Etude d’un arc paramétré Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la courbe(Γ)représentée x(t)=ttht paramétriquement par :1 y(t)= cht 3.Démontrer que(Γ)admet un axe de symétrie. 4.Etudier les branches infinies de(Γ). 5.Etudier les variations dexety; faire un tableau. 6.Préciser la nature du pointAd’abscisse 0, ainsi que la tangente en ce point. 7.a) Calculerchtetthtlorsquesht=1. Calculer la valeur detcorrespondante  (onexprimera le résultat sous forme d’un logarithme népérien). b)Déterminer le pointBde(Γ)où la tangente a pour coefficient directeur1 ; déterminer une équation cartésienne de la tangente enBà(Γ). 8.Donner l’allure de la courbe(Γ). 9.a)Déterminer une équation cartésienne de la tangente à(Γ)au pointMde paramètret. b)Cette tangente recoupe l’axe des abscisses en un pointN. Calculer la distanceMN. III. Etude d’intégrales et de suitesx dt Soient un réelxetkun entier strictement positif. On poseI(x)=. 0 k k cht t 10.CalculerI(x)(on pourra faire le changement de variableu=e). 1 11.CalculerI(x). 2 12.a)En intégrant par parties, trouver une relation entreIetI(on pourra k+2k 1 cht remarquer que=). k k+1 chtcht b)En déduireIetI. 3 4 13.Démontrer que la fonctionI:x6I(x)est : k k a)impaire. b)continue sur\. c)de classeCsur\. ′′ ′′′ 14.CalculerI,IetI. k kk 15.Donner le développement limité deIà l’ordre 3 au voisinage de 0. k 16.Démontrer queIest monotone sur\. k
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fixé, d’étudier la convergence dfinie pa 17.On se propose, pourkla suite e(un)dé r n` u=I(n). n k a)Démontrer que cette suite est monotone. 1t b)Démontrer que, pour tout réelt,-2e; en déduire que la suite converge. cht x+dt dt 18.On pose, sous réserve d’existence,J=lim ,notéex+00 k k k chtcht J a)Démontrer l’existence dek. b)CalculerJetJ. 1 2 c)CalculerJ. k
Deuxième problème a c ⎛ ⎞ On désigne parEl’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 de la forme, oùa,b,c0b ⎝ ⎠ sont des nombres réels. I. Etude de structures 1.a)Démontrer queE, muni de l’addition des matrices et de leur produit par un scalaire réel, est un espace vectoriel réel. b)Trouver une base et la dimension deE. 2.a)Démontrer queEest stable pour la multiplication des matrices. b)En déduire queE, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, est un anneau. c)Cet anneau est-il commutatif ? 3.On désigne parGl’ensemble des matrices deEtelles quea>0 etb>0. Démontrer queGest un groupe multiplicatif. II. Puissances d’une matrice et suites a c ⎛ ⎞ SoitA=E. 0b ⎝ ⎠ 4.p p paba c p a)On supposeab. Démontrer quep`A=ab. p 0b ⎝ ⎠ pb)On suppose quea=b. CalculerApourp`; on exprimera les coefficients en fonction deaetc.
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nα γ n n1 p 5.Pour toutn`, on poseB=A=, en convenant que n 0β np=0p!⎝ ⎠ 1 02n nk 0x xx x A=I=et, pour toutxréel,ϕ(x)=1++ +"+ =. n 0 11! 2 !n!k=0k! ⎝ ⎠ a)Rappeler l’inégalité de Taylor-Lagrange avec ses hypothèses. b)Démontrer que, pourxfixé, la suite de terme généralϕ(xconverge et que sa n x limite este. c)On supposeab. Calculerαn,βnetγnen fonction dea,b,c,ϕn(a)etϕn(b). Démontrer que les suites(α),(β)et(γ)ont des limites respectivesα,β,γque n nn n nn l’on calculera. d)On supposea=b. ( ) Calculerαn,βnetγnen fonction dea,c,ϕaetϕn(a. n1 ,( )γ Démontrer que les suites(αn)βnet(n)nont des limites respectivesα,β,γque n n l’on calculera. 6.a cα γ ⎛ ⎞⎛ ⎞ Pour toutA=E, on poseA=, oùα,βetγont été définis à la 0b0β⎝ ⎠⎝ ⎠ question 5, et on notef l’application deEdansEdéfinie parf(A)=A. a)L’applicationfest-elle linéaire ? b)L’applicationfest-elle injective ? c)L’applicationfest-elle surjective ? d)Déterminer l’image deEparf. 7.On suppose maintenant que0<a<ln 2et0<b<ln 2. np1a cn k1 n n(1)1)k p On pose, pourA E,(f(A)I)=etψ(x)=xn 0bp=1pn1 ⎝ ⎠k=k a)Calculeran,bnetcnlorsqueab, puis lorsquea=b(on pourra utiliser les résultats de la question 4). b)Démontrer que si0<x<1, la suite de terme généralψ(x),xfixé, converge vers n ln 1+x). a bcc)Dans chacun des deux cas précédents, démontrer que les suites(( )n)net(n n n n ont respectivement pour limitesa,betc. FIN DU SUJET
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