Epita 2001 epreuve optionnelle classe prepa mp epreuve optionnelle 2001 classe prepa mp

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peuxième épreuve 1/2 E.P.I.T.A. mathématiques 2 - 2001 (1 heuie 30) On se propose d’étudier le mouvement vibratoire d’une corde, Supposée infinie au 1 et finie au II. Parîie 1 : étude dkne corde vibrante infinie On suppose ici la corde vibrante infinie. Lorsque la position d’équilibre d’une telle corde est assimilée à l’axe x’OX, on démontre, pour tout nombre réel t et pour tout nombre réel X, que l’amplitude U(X, t) à l’instant I du point d’abscisse x de la corde est solution de l’équation suivante (OÙ v désigne une constante strictement positive) : On se propose d’étudier les solutions de cette équation avec les conditions initiales suivantes, suppo- sées réalisées pour tout nombre réel x : 2.4(x, 0) =j(x) et !$(X, 0) = 0 oùf désigne une fonction donnée, Supposée de classe C2 de IR dans IR (cette hypothèse signifie que la corde .est lâchée sans vitesse initiale à partir d’une position initiale définie par la donnée defl. 1 O) Montrer que l’application $ : (x, t) + (X = x + vt, T = x - vt) réalise un C2-difféomorphisme de lR2 dans IR2, et préciser le difféomorphisme inverse @. 2’) Etude d’une éauation aux dérivées nartielles éauivalente à (CV) ~~ ~~ - Pour toute fonction u : R x IR + K Supposée he classe C*, on pose u = U0 4, c’est à dire : U(X,f) = U(x+vt x-w). V(X,f)E IRXR , d2U i12U Exprimer les dérivées partielles en fonction de v et $+), &%09 $WL T$p70 des dérivées partielles ‘de la fonction U au point (x + vt, x - vt). En déduire que u ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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