Epita 2004 epreuve commune classe prepa mp epreuve commune 2004 classe prepa mp

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E.P.I.T.A.Concours 2004 – Mathématiques (3 heures)__________________________________________Dans ce problème, on étudie les équations intégrales de Volterra, qui s'écrivent sous la formesuivante où f : [0, 1] → R et k : [0, 1] x [0, 1] → R désignent deux fonctions continues données,et où u : [0, 1] → R est une fonction continue, inconnue ici, astreinte à vérifier pour 0 ≤ x ≤ 1 :x(1) ux()−=k(x,t)u(td)t f(x).∫0Les trois premières questions sont consacrées à des cas particuliers de cette équation, tandis quela question 4 propose l'étude générale de l'existence et de l'unicité d'une solution u.x1°) On pose ux()= 1, puis ux()=−(xt)u(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N.0 nn+1∫0a) Calculer u (x), u (x), u (x), puis par récurrence u (x).1 2 3 nb) Calculer la somme U(x) de la série u (x) + u (x) + … + u (x) + …0 1 nnc) V(xu (x) – u (x) + … +(–1) u (x) + …0 1 nd) Vérifier que U et V sont respectivement solutions des équations suivantes :x(2) .ux()−−(x t)u(t)dt=1∫0x(3) .ux()(t x)u(t)dt=1∫0x2°) On pose ux()=x, puis ux()=−(xt)u(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N.0 nn+1∫0a) Calculer la somme U(x) de la série u (x) + u (x) + … + u (x) + …0 1 nnb) V(xu (x) – u (x) + … +(–1) u (x) + …0 1 nc) Vérifier que U et Vx(4) ux()−−(x t)u(t)dt=x.∫0x(5) ux()(t x)u(t)dt=x.∫0x3°) On pose ux()=f()x , puis ux()= λu(t)dt pour 0 ≤ x ≤ 1 et pour n ∈ N (où λ réel donné).0 nn+1∫0n+1a) Vérifier par récurrence l'égalité suivante pour une fonction g ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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E.P.I.T.A. Concours 2004 – Mathématiques (3 heures) __________________________________________
Dans ce problème, on étudie les équations intégrales de Volterra, qui s'écrivent sous la forme suivante oùf: [0, 1]Retk: [0, 1] x [0, 1]Rdésignent deux fonctions continues données, et oùu: [0, 1]Rest une fonction continue, inconnue ici, astreinte à vérifier pour 0 ≤x≤ 1 : x (1)u(x)k(x,t)u(t)dt=f(x). 0 Les trois premières questions sont consacrées à des cas particuliers de cette équation, tandis que la question 4 propose l'étude générale de l'existence et de l'unicité d'une solutionu.
x 1°) On posu(x)=(xt)u(t)dtpour 0 ≤x≤ 1 et pournN. eu0(x)=1, puisn+1n 0 a)Calculeru1(x),u2(x),u3(x), puis par récurrenceun(x). b)Calculer la sommeU(x) de la sérieu0(x) +u1(x) + … +un(x) + … n c)Calculer la sommeV(x) de la sérieu0(x) –u1(x) + … +(–1)un(x) + … d)Vérifier queUetVsont respectivement solutions des équations suivantes : x (2)u(x)(xt)u(t)dt=1. 0 x (3)u(x)(tx)u(t)dt=1. 0
x u xxx tu xdtu t 2°) On pose0( )=, puisn+1( )=()n( )pour 0 ≤x≤ 1 et pournN. 0 a)Calculer la sommeU(x) de la sérieu0(x) +u1(x) + … +un(x) + … n b)Calculer la sommeV(x) de la sérieu0(x) –u1(x) + … +(–1)un(x) + … c) VérifierqueUetVsont respectivement solutions des équations suivantes : x (4)u(x)(xt)u(t)dt=x. 0 x (5)u(x)(tx)u(t)dt=x. 0
x u xf xu tdt 3°) On pose0( )=( ), puisun+1(x)=λn( )pour 0 ≤x≤ 1 et pournN(oùλréel donné). 0 n+1 a)Vérifier par récurrence l'égalité suivante pour une fonctiong: [0, 1]R:de classe C n kn x x xt (k)()(n+1) g(x)=g(0)+g(t)dt. k!0n! k=0 b)Etudier les dérivées deun+1et en déduire que : n+1n x λ(xt) t un1(x)=f(t)d. n! + 0 c)En déduire alors (avec les justifications nécessaires) la sommeU(x) de la série de fonctions x u0(x) +u1(x) + … +un(xen fonction de) + …f(x), exp(λx) etexp(λt)f(t)dt. 0 d) Endéduire queUest solution de l'équation suivante : x (6)u(x)λu(t)dt=f(x). 0 e) Retrouvercette solution en résolvant une équation différentielle convenable.
4°) Dans cette question, on étudie l'équation générale (1) décrite dans le préambule : x  (1)u(x)k(x,t)u(t)dt=f(x). 0 On prouve d'abord l'existence d'une solutionu(questions a-b-c), puis son unicité (questions d-e). x f x On pose à cet effetu0(x)=( ), puisu(x)=k(x,t)u(t)dtpour 0 ≤x≤ 1 et pournN. 0 n+1n On admettra que toutes les fonctionsunde cette suite sont continues sur [0, 1], et on désignera 2 parKetMles maxima des fonctions continuesketfet [0, 1] respectivement.sur [0, 1] a)Montrer par récurrence l'inégalité suivante pour 0 ≤x≤ 1 et pourn≥ 1 : n (Kx) u(x)M n n! b)En déduire (avec les justifications nécessaires) que : la sérieu0(x) +u1(x) + … +un(x) + … converge pour 0 ≤x≤ 1. la sommeU(x) de cette série est continue sur [0, 1]. x c)Exprimer (avec les justifications nécessaires) l'intégralek(x,t)U(t)dten fonction deUetf. 0 En déduire queUest une solution de (1). d)Montrer, siu1etu2sont deux solutions de (1), qued=u1u2est solution de : x d(x)=k(x,t)d(t)dt. 0 e)Montrer l'inégalité suivante oùDdésigne le maximum de la fonction continuedsur [0, 1] : n (Kx) d(x)D. n! En déduire quedest la fonction nulle, puis queu1=u2. f)Résoudre par la méthode proposée dans cette question les équations intégrales : x 2 (7)u(x)(xt)u(t)dt=x. 0 x 2 (8)u(x)(tx)u(t)dt=x. 0 (On exprimera les solutionsude ces deux équations à l'aide des fonctions usuelles).
5°) Dans cette question, on applique ce qui précède au problème de Cauchy suivant, dans lequel a,b,cdésignent trois fonctions continues de [0, 1] dansRety0,y'0 deux réels donnés : y′′ =a(x)y′ +b(x)y+c(x) ety(0) =y0 ,y'(0) =y'0. 2 a) Montrer,parmi les fonctionsyde classe Cde [0, 1] dansRqui vérifienty(0) =y0,y'(0) =y'0, queyest solution du problème de Cauchy précédent si et seulement siy"est la solutionude : x u(x)[a(x)+(xt)b(x)]u(t)dt=c(x)+ya(x)+(y+xy)b(x). 0 0 00 b) En déduire l'énoncé et la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz pour ce problème de Cauchy, puis retrouver ainsi les résultats des questions 1° et 2°. c) Résoudre ainsi, compte tenu des résultats de (7) et (8), les problèmes de Cauchy suivants : 2 -y′′ =y+x ety(0) = 0 ,y'(0) = 0. 2 -y′′ = −y+x ety(0) = 0 ,y'(0) = 0.
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